结论：私人企业无故开除员工是违法的，即使没有签订书面合同，但如果有录音等证据能够证明劳动关系及开除事实，员工依然可以依法维权。

一、无故开除员工的违法性

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须符合法定情形，如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等，并且需要遵循法定程序。如果用人单位无故开除员工，即没有合法理由且未遵循法定程序，那么这种行为就是违法的。

二、未签订书面合同的影响

虽然未签订书面劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，只要存在事实劳动关系，即员工实际为用人单位提供了劳动，用人单位也接受了这种劳动，那么双方就建立了劳动关系。在这种情况下，即使没有书面合同，员工依然享有劳动法规定的各项权利，包括不被无故开除的权利。

三、录音等证据的作用

录音等证据在劳动纠纷中具有重要作用。它们可以证明员工与用人单位之间存在劳动关系，以及用人单位无故开除员工的事实。这些证据在劳动仲裁或诉讼中可以作为有力支持，帮助员工维护自己的合法权益。

四、维权途径

1. 协商：员工可以尝试与用人单位进行协商，寻求和解。在协商过程中，可以出示录音等证据，以证明自己的权益受到了侵害。
2. 劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，需要提交相关证据，包括录音等，以证明用人单位的违法行为。
3. 诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，员工还可以向法院提起诉讼。在诉讼过程中，同样需要提交相关证据来支持自己的主张。

五、建议

1. 收集证据：员工应尽可能收集与劳动关系及开除事实相关的证据，如录音、工作证、工资单等。这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。
2. 及时咨询：在遇到劳动纠纷时，员工应及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及维权的具体途径和策略。
3. 保持冷静：在维权过程中，员工应保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击等不利于解决问题的行为。

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