结论：送外卖途中自己摔伤，住院手术费用的垫付问题，需根据具体情况来判断是由家属还是外卖公司来垫付，但通常建议先由家属垫付，后续再根据工伤认定和赔偿流程来向外卖公司主张相关费用。

详细分析：

1. 工伤认定是关键：

   • 首先，需要明确的是，送外卖途中摔伤是否构成工伤。根据《工伤保险条例》的规定，职工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。但如果是自己摔伤，且非因交通事故等外部因素导致，那么是否构成工伤就需要根据具体情况和当地社保部门的解释来判断。不过，若外卖员与外卖公司之间存在劳动关系，且摔伤是在工作过程中因工作原因导致的，也有可能被认定为工伤。
   • 建议：在摔伤后，应尽快向外卖公司报告，并申请工伤认定。同时，保留好相关证据，如医疗记录、事故现场照片等，以备后续使用。

2. 费用垫付问题：

   • 若构成工伤：根据《工伤保险条例》的规定，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病进行治疗，享受工伤医疗待遇。治疗工伤所需费用符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准的，从工伤保险基金支付。但在此之前，通常需要职工或其家属先垫付医疗费用，后续再通过工伤保险报销。
   • 若不构成工伤：如果摔伤不构成工伤，那么医疗费用就需要由职工自己承担。但在此情况下，如果外卖员与外卖公司之间存在劳动关系，且外卖公司未尽到相应的安全保障义务（如提供安全的交通工具、进行必要的安全培训等），外卖员也可以考虑向外卖公司主张一定的赔偿责任。不过，这通常需要通过法律途径来解决，且赔偿金额和范围会根据具体情况和法律规定来确定。
   • 实际操作建议：无论是否构成工伤，都建议先由家属垫付医疗费用。如果构成工伤，后续可以通过工伤保险报销；如果不构成工伤，但外卖公司存在过错，也可以考虑向外卖公司主张赔偿。同时，保留好所有医疗费用的发票和凭证，以便后续报销或主张赔偿。

3. 后续赔偿流程：

   • 如果构成工伤，且外卖公司已经为职工缴纳了工伤保险，那么职工可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、伤残津贴、一次性伤残补助金等。具体流程包括：申请工伤认定、进行劳动能力鉴定、申请工伤保险待遇等。
   • 如果不构成工伤，但外卖公司存在过错，职工可以通过法律途径向外卖公司主张赔偿。这通常需要提起民事诉讼，并提交相关证据来证明外卖公司的过错和职工的损失。

总结与建议： 送外卖途中自己摔伤，住院手术费用的垫付问题需根据具体情况来判断。但无论是否构成工伤，都建议先由家属垫付医疗费用，并保留好相关证据。后续再根据工伤认定和赔偿流程来向外卖公司主张相关费用或赔偿。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。