在涉及不正当关系赠与纠纷的案件中，被告确实有权申请调取原告提供的转账明细，但这一权利并非无条件的，而是需要满足一定的法律程序和条件。以下是对这一问题的详细分析：
一、被告申请调取转账明细的法律依据
《民事诉讼法》的相关规定：
- 根据《民事诉讼法》的相关规定，当事人有权在诉讼过程中申请法院调取证据，特别是当证据由对方掌握且自己无法直接获取时。在赠与纠纷案件中，转账明细作为证明赠与行为及金额的关键证据，如果由被告申请调取，且该证据对案件事实的查明具有关键作用，法院通常会予以考虑。
证据的关联性、合法性和真实性：
- 被告申请调取的转账明细必须与案件事实具有关联性，即能够证明或反驳赠与行为的存在、金额或性质。同时，该证据的获取方式必须合法，不能侵犯他人的合法权益。此外，转账明细作为书证，其真实性也是法院审查的重点。
二、被告申请调取转账明细的具体程序
提交书面申请：
- 被告需要向法院提交书面申请，明确说明需要调取的转账明细的具体内容（如时间范围、交易对方等）、调取的理由以及该证据对案件事实查明的重要性。
法院审查与决定：
- 法院会对被告的申请进行审查，判断其是否符合法律规定的条件。如果法院认为申请合理且有必要，会作出调取证据的决定，并通知相关银行或支付机构提供转账明细。
证据的质证与认证：
- 调取到的转账明细作为证据，需要在庭审过程中进行质证。原、被告双方都有权对该证据的真实性、关联性和合法性发表意见。法院会根据双方的质证意见和法律规定，对证据进行认证，并作为判决的依据。
三、被告申请调取转账明细的注意事项
及时申请：
- 被告应在诉讼过程中及时提出调取转账明细的申请，以免因证据灭失或难以获取而影响案件的审理。
明确申请内容：
- 被告在申请调取转账明细时，应尽可能明确具体的时间范围、交易对方等信息，以便法院能够准确、高效地调取相关证据。
尊重法院决定：
- 如果法院决定不调取被告申请的转账明细，被告应尊重法院的决定，并可以通过其他方式（如提供其他证据或申请证人出庭等）来证明自己的主张。
四、可能面临的法律后果
- 如果被告成功调取到转账明细，并证明该赠与行为违反了公序良俗或存在其他违法行为，法院可能会判决赠与行为无效，并要求原告返还赠与的财产。
- 如果被告无法提供充分的证据证明赠与行为存在违法性或不当性，或者法院认为赠与行为合法有效，那么被告可能需要承担不利的法律后果。
总结来说，被告在涉及不正当关系赠与纠纷的案件中，有权申请调取原告提供的转账明细，但需要满足一定的法律程序和条件。如果你正面临此类纠纷，并需要进一步的法律帮助或建议，请随时向我咨询。