核心结论：遇到车子外借出事故后车主不提供保险公司电话的情况，您可以通过以下途径解决：

1. 查看保险单据或相关文件
   首先，您可以检查自己手中是否留存有车辆的保险单据、保险卡或相关文件。这些文件上通常会印有保险公司的名称和客服电话。如果找到这些信息，您可以直接联系保险公司进行报案和理赔。

2. 通过车主的亲友或共同联系人获取
   如果直接联系车主无果，您可以尝试通过车主的亲友、同事或其他共同联系人来获取保险公司的联系方式。在沟通时，请保持礼貌和耐心，说明情况并请求帮助。

3. 向交警部门或公安机关求助
   在事故处理过程中，交警部门或公安机关会介入调查并记录相关信息。您可以向处理事故的交警或公安机关工作人员说明情况，请求他们协助获取车主的保险公司联系方式。他们通常会根据程序提供必要的帮助。

4. 通过法律途径解决
   如果以上方法均无法获取保险公司的联系方式，且事故造成的损失较大或涉及人身伤害，您可以考虑通过法律途径解决。具体来说，您可以向法院提起诉讼，要求车主提供保险公司的相关信息或直接要求车主承担赔偿责任。在诉讼过程中，法院有权要求车主提供相关证据，包括保险公司的联系方式。

额外建议：

• 保留证据：在处理此类事故时，请务必保留好所有相关证据，如事故现场照片、交警出具的事故认定书、与车主的沟通记录等。这些证据将在后续理赔或诉讼过程中发挥重要作用。
• 了解保险条款：如果您对保险条款不太了解，建议在联系保险公司前先查阅一下相关条款，以便更好地了解自己的权益和理赔流程。
• 谨慎外借车辆：未来在借车给他人时，请务必谨慎考虑并了解对方的驾驶能力和信用状况。同时，可以要求对方提供有效的驾驶证件和保险信息，以降低潜在风险。