结论：信用卡欠款5000元逾期四年，银行确实有权向法院提起诉讼，但具体是否会起诉，需结合多种因素综合判断。
一、银行起诉的可能性分析
逾期时间与催收情况：
- 信用卡逾期四年，时间较长，银行在此期间很可能已经进行了多次催收。若持卡人在此期间未与银行进行有效沟通，也未表现出还款意愿，银行起诉的可能性会显著增加。
- 银行在决定是否起诉时，会考虑催收成本、欠款金额以及持卡人的还款态度等因素。对于5000元的欠款，虽然金额不算巨大，但逾期时间较长，银行可能会认为通过法律途径追讨更为有效。
诉讼时效问题：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间通常为三年。然而，在信用卡欠款逾期的情况下，如果银行持续进行了有效催收（如发送催收短信、拨打电话、发送律师函等），诉讼时效会中断并重新计算。
- 因此，即使欠款逾期四年，只要银行在这期间持续进行了有效催收，诉讼时效可能并未届满，银行仍有权起诉。
二、起诉后的法律后果
民事责任：
- 如果银行起诉且胜诉，持卡人需要偿还本金5000元，还需承担逾期利息、违约金以及银行起诉所产生的合理费用（如诉讼费等）。
- 法院可能会采取强制执行措施，如查询、冻结、划拨持卡人的银行存款，以及查封、扣押、拍卖持卡人的其他财产。
信用影响：
- 信用卡逾期记录会被记入个人信用报告，对持卡人的信用评级产生负面影响。这可能导致持卡人在未来申请贷款、信用卡等金融服务时遇到困难。
- 如果持卡人被列入失信被执行人名单，还将面临更多限制，如限制高消费、限制出行等。
三、应对建议
积极沟通：
- 持卡人应尽快与银行取得联系，说明逾期原因，并表达还款意愿。通过积极沟通，持卡人可能能够与银行协商出可行的还款方案，如分期还款或减免部分利息等。
制定还款计划：
- 根据自身经济状况，持卡人应制定一个合理的还款计划，并严格按照计划执行。这有助于逐步减少欠款金额，降低被起诉的风险。
寻求法律帮助：
- 如果持卡人对法律程序或自身权益有疑问，可以向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。
四、特殊情况说明
- 如果持卡人在逾期期间遭遇了重大疾病、失业等不可抗力因素导致无法还款，且能够提供相关证明材料，银行可能会考虑给予一定的宽限期或减免部分费用。但这种情况需要持卡人主动与银行沟通并说明情况。
总结：信用卡欠款5000元逾期四年，银行有权起诉，但具体是否会起诉需结合多种因素判断。持卡人应积极与银行沟通、制定还款计划，并寻求必要的法律帮助，以降低被起诉的风险并维护个人信用记录。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。