结论：信用卡欠款5000元逾期10年，银行是有可能起诉的，但具体是否起诉会受到多种因素的影响。
分析：
诉讼时效问题：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，一般的民事诉讼时效期间为三年，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。然而，在信用卡欠款的情况下，如果银行在欠款逾期后持续进行催收，并且每次催收都能引起债务人的注意（例如，通过电话、短信、邮件或书面通知等方式），那么诉讼时效可能会因为银行的催收行为而中断并重新计算。因此，即使欠款已经逾期10年，如果银行在此期间持续催收，诉讼时效可能并未过期，银行仍然有权起诉。
银行的决策因素：
- 银行在决定是否起诉时，会综合考虑多种因素，包括欠款金额、逾期时间、债务人的还款意愿和能力、催收成本以及法律诉讼的成本和收益等。对于5000元的欠款，虽然金额不大，但如果银行认为通过法律诉讼能够更有效地追回欠款，或者认为债务人存在恶意逃避债务的行为，那么银行可能会选择起诉。
法律后果：
- 如果银行选择起诉，并且法院最终判决债务人需要偿还欠款及可能的利息和滞纳金，那么债务人将需要履行判决义务。如果债务人拒不履行，银行可以申请法院强制执行，包括冻结银行账户、查封财产等措施。此外，债务人的信用记录也会受到严重影响，可能面临无法获得贷款、信用卡等金融服务的问题。
建议：
- 主动沟通：如果你确实存在信用卡欠款且逾期未还的情况，我建议你主动与银行沟通，了解欠款的具体情况，包括欠款金额、利息、滞纳金等，并表达你的还款意愿。
- 协商还款：你可以尝试与银行协商制定一个可行的还款计划，以逐步偿还欠款。银行通常更愿意与债务人合作，而不是直接采取法律诉讼的方式。
- 寻求法律帮助：如果你对银行的催收行为或欠款情况存在疑问，或者你认为自己无法独自应对这个问题，你可以寻求专业的法律帮助。我可以为你提供债权债务领域的法律咨询和协助，帮助你更好地处理这个问题。
额外思考：
- 即使银行没有选择起诉，欠款和逾期记录仍然会对你的信用记录产生负面影响。因此，无论银行是否起诉，你都应该尽快采取行动解决欠款问题，以避免更严重的后果。
- 在处理信用卡欠款问题时，保持与银行的良好沟通是非常重要的。通过主动沟通，你可以更好地了解欠款情况，表达还款意愿，并寻求银行的合作和支持。