结论：开车不小心撞死小狗是否会被抓或受罚，需根据具体情况判断，主要涉及民事赔偿，一般不涉及刑事责任，但若存在故意或重大过失等特殊情形，可能面临行政处罚。以下从不同角度详细分析：
一、民事赔偿角度
责任认定：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条：“饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。”
- 在您开车撞死小狗的情况下，若小狗是他人饲养的，且您不存在故意或重大过失（如超速、酒驾等），则一般由小狗的饲养人或管理人自行承担损失。但如果您存在过错（如未注意观察路况、未按规定行驶等），则可能需要根据过错程度承担相应的民事赔偿责任。
赔偿范围：
- 赔偿范围通常包括小狗的市场价值、饲养费用等直接损失。若小狗具有特殊价值（如赛级犬、工作犬等），还可能包括其潜在的经济价值损失。
- 赔偿金额一般由双方协商确定，若协商不成，可通过诉讼途径解决。
二、行政处罚角度
一般情形：
- 开车不小心撞死小狗，若不存在故意或重大过失，且未造成其他严重后果（如交通拥堵、人员伤亡等），一般不属于违法行为，不会受到行政处罚。
特殊情形：
- 若您存在故意撞死小狗的行为，可能涉嫌违反《中华人民共和国治安管理处罚法》中关于故意损毁公私财物的规定，面临行政处罚（如罚款、拘留等）。
- 若您因撞死小狗后逃逸，可能涉嫌违反《中华人民共和国道路交通安全法》中关于交通事故后逃逸的规定，面临更严厉的行政处罚（如吊销驾驶证、拘留等）。
三、建议与注意事项
保留证据：
- 在发生此类事件后，建议您保留现场照片、视频等证据，以便在需要时证明自己的清白或主张自己的权益。
及时报警：
- 若您无法确定小狗的饲养人或管理人，或双方就赔偿事宜无法达成一致，建议您及时报警，由警方协助处理。
遵守交通规则：
- 无论何种情况下，都应严格遵守交通规则，确保行车安全。避免因疏忽大意或违规行为而引发不必要的纠纷和损失。
如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。