结论：工作5年半、满52岁被公司辞退，您有权要求公司支付经济补偿金，并可能涉及违法解除劳动合同的赔偿金问题。具体处理方式需根据辞退原因和劳动合同情况来确定。
分析说明：
经济补偿金：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，应当向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常是按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 在您的情况下，工作5年半，因此您有权要求公司支付5.5个月工资的经济补偿金。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 如果公司辞退您的原因不符合《劳动合同法》规定的合法解除情形（如严重违反公司规章制度、严重失职等），则可能构成违法解除劳动合同。
- 在违法解除的情况下，您除了可以要求公司支付经济补偿金外，还可以要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。
- 但需要注意的是，如果公司能够证明辞退您是出于合法原因，或者您存在过错导致公司解除劳动合同，则可能不需要支付赔偿金。
特殊情况考虑：
- 如果您已经达到法定退休年龄（目前女性职工退休年龄一般为50岁或55岁，具体取决于岗位和地区政策），但尚未享受基本养老保险待遇，且公司因此辞退您，那么情况可能有所不同。此时，公司是否需要支付经济补偿金或赔偿金，可能需要根据当地的具体政策和规定来判断。
- 另外，如果您的劳动合同中有关于辞退的特殊约定，或者公司有明确的规章制度规定了辞退的条件和程序，那么也需要考虑这些因素对处理结果的影响。
行动建议：
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司进行协商，了解辞退的具体原因，并要求公司按照法律规定支付经济补偿金。如果公司拒绝支付或协商无果，您可以考虑采取法律手段维护自己的权益。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关的证据材料，如劳动合同、工资单、辞退通知等，以证明自己的权益受到了侵害。
寻求法律援助：
- 如果您对劳动仲裁程序不熟悉或担心自己的权益无法得到充分保障，您可以寻求法律援助或咨询专业律师。我可以为您提供专业的法律咨询和帮助，确保您的权益得到充分维护。
后续思考：
- 在处理此类劳动纠纷时，了解并熟悉相关法律法规和政策是非常重要的。这有助于您更好地维护自己的权益，并避免在处理过程中陷入被动。
- 同时，保留好相关证据材料也是关键。这些证据材料将在后续的协商、仲裁或诉讼过程中发挥重要作用。
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