结论前置：无合同用人，公司可能面临支付双倍工资、承担违法解除劳动关系赔偿责任以及可能被劳动行政部门处罚等法律责任。
详细分析：
支付双倍工资的责任：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果公司没有与员工签订书面劳动合同，且用工时间超过一个月，公司就需要支付双倍工资。
- 举例说明：假设员工A于2023年1月1日入职公司，但公司一直未与A签订书面劳动合同。到2023年12月31日，如果A仍然在公司工作，那么公司除了需要支付A正常的工资外，还需要额外支付11个月的双倍工资作为赔偿。
违法解除劳动关系的赔偿责任：
- 法律依据：如果公司没有与员工签订书面劳动合同，且后续违法解除了与员工的劳动关系，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司可能需要支付经济补偿金或赔偿金。经济补偿金的标准通常根据员工在公司的工作年限和月工资来确定，而赔偿金则可能是经济补偿金的两倍。
- 举例说明：继续以员工A为例，如果公司在2023年12月31日违法解除了与A的劳动关系，且A在公司工作了12个月，月工资为5000元。那么，公司除了需要支付A12月的正常工资外，还可能需要支付A1个月的经济补偿金（5000元）或2个月的赔偿金（10000元），具体取决于解除劳动关系的合法性及具体情况。
可能被劳动行政部门处罚：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位未依法与劳动者订立书面劳动合同的，由劳动行政部门责令改正；给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。此外，劳动行政部门还可能对公司进行罚款等行政处罚。
- 举例说明：如果劳动行政部门在检查中发现公司存在未与员工签订书面劳动合同的情况，劳动行政部门可能会责令公司限期改正，并可能对公司处以罚款等行政处罚。
建议与提醒：
- 及时签订劳动合同：为了避免上述法律责任，公司应及时与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 遵守劳动法律法规：公司应严格遵守劳动法律法规，确保用工行为的合法性，避免违法解除劳动关系等行为的发生。
- 咨询专业律师：如果公司对劳动法律法规有疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我会根据公司的具体情况提供专业的法律意见。
希望以上分析能对你有所帮助。如果你还有其他法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。