结论：劳动行政部门本身无权直接责令擅自离职的劳动者赔偿公司经济损失，但若劳动者擅自离职给公司造成损失，公司可通过法律途径要求赔偿。
详细分析：
劳动行政部门的职责与权限：
- 劳动行政部门主要负责监督劳动法律法规的执行，处理劳动争议，保障劳动者的合法权益，以及维护劳动市场的秩序。
- 在劳动者擅自离职的情况下，劳动行政部门可以介入调查，了解事实真相，但通常不会直接责令劳动者赔偿公司经济损失。这是因为赔偿问题属于民事纠纷范畴，应由双方通过协商、调解、仲裁或诉讼等法律途径解决。
劳动者擅自离职的法律后果：
- 劳动者擅自离职，即未按照法律规定或劳动合同约定，未经用人单位同意便解除劳动关系的行为，通常不符合获得经济补偿的法定条件。
- 若劳动者的擅自离职给用人单位造成了实际损失，如工作受阻、项目进度延误、客户流失等，用人单位有权要求劳动者承担相应的赔偿责任。这种赔偿责任是基于民事侵权或违约责任，而非劳动行政部门的行政处罚。
公司要求赔偿的途径：
- 协商：公司可以与劳动者进行友好协商，寻求双方都能接受的赔偿方案。
- 调解：若协商无果，公司可以请求劳动行政部门或第三方调解机构介入调解，促成双方达成赔偿协议。
- 仲裁：若调解未能解决问题，公司可以依法向劳动争议仲裁委员会提起劳动仲裁，要求劳动者赔偿经济损失。
- 诉讼：对劳动仲裁结果不服的，公司可以在法定期限内向人民法院提起诉讼，通过司法程序追究劳动者的赔偿责任。
法律建议：
- 对于劳动者而言，擅自离职可能面临法律风险和经济损失。在离职前，应充分了解相关法律法规和劳动合同约定，确保离职行为的合法性，并尽量与公司协商解决离职事宜，以避免不必要的纠纷。
- 对于公司而言，若劳动者擅自离职并造成损失，应及时收集证据，通过法律途径要求赔偿。同时，公司也应加强内部管理，完善劳动合同和规章制度，明确离职程序和责任承担，以减少类似纠纷的发生。
可能法律后果：
- 若劳动者擅自离职且给公司造成损失，公司通过法律途径成功追究其赔偿责任，劳动者将需要承担相应的经济损失赔偿责任。
- 若劳动者擅自离职行为违反法律法规或劳动合同约定，还可能面临其他法律后果，如被劳动行政部门处罚、被公司追究违约责任等。
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