申请终结执行既可以由当事人签字，也可以由其委托的律师签字，但具体情形需根据实际情况和法律规定来判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、当事人签字申请终结执行
在大多数情况下，申请终结执行是当事人的一项权利，因此当事人本人有权直接向法院提出申请，并签字确认。这是最直接、最明确的方式，能够确保申请的真实性和有效性。例如，在债务已经清偿、执行依据被撤销等法定情形下，当事人可以亲自向法院提交终结执行的申请书，并签字确认。
二、律师签字申请终结执行
委托代理关系：如果当事人委托了律师作为其代理人，那么律师在代理权限范围内有权代表当事人进行法律行为，包括申请终结执行。在这种情况下，律师可以代替当事人签字提交终结执行的申请书。
授权委托书：为了确保律师的代理行为有效，当事人需要向律师出具授权委托书，明确授权律师代表其进行终结执行的申请。授权委托书应当载明代理人的姓名、代理事项、权限和期间，并由当事人签字或盖章。
律师的职责：律师在接受委托后，应当根据当事人的授权和法律规定，积极履行代理职责，包括准备和提交终结执行的申请书。律师在签字时，应当确保申请书的内容真实、准确、完整，并符合法律规定的格式和要求。
三、实际操作中的注意事项
核实身份和权限：无论是当事人还是律师提交终结执行的申请书，法院都会核实其身份和权限。因此，在提交申请书时，应当附上相关的身份证明和授权委托书等文件。
遵循法定程序：申请终结执行必须遵循法定的程序和要求。例如，申请书应当写明申请终结执行的事实、理由和法律依据，并附上相关的证据材料。
及时沟通：在申请终结执行的过程中，当事人和律师应当保持密切的沟通，及时了解案件的进展情况，并根据需要调整申请策略。
建议：如果你或你身边的人面临需要申请终结执行的情况，建议根据实际情况选择合适的方式提交申请。如果你对法律程序不熟悉或担心操作不当，可以向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。