甲方若想合法合规地开除第三方员工，需满足以下核心条件，且需根据具体法律关系分情况讨论：
一、明确法律关系是前提
甲方与第三方员工之间可能存在两种法律关系，直接影响开除的合法性：
- 劳务派遣关系：第三方员工与劳务派遣公司签订劳动合同，被派遣至甲方工作。此时甲方为用工单位，无权直接开除员工，但可依法将员工退回派遣公司。
- 劳务外包/承揽关系：第三方员工由外包公司自行管理，与甲方无直接劳动关系。甲方仅能通过合同约束外包公司，无权直接开除员工。
若甲方误将劳动关系当作劳务派遣或外包处理，直接开除员工可能构成违法解除，需承担赔偿金等法律责任。
二、劳务派遣关系下的合法退回条件（甲方作为用工单位）
根据《劳动合同法》第六十五条及《劳务派遣暂行规定》第十二条，甲方可将员工退回派遣公司的情形包括：
- 客观情况重大变化：如甲方业务调整、部门撤销等，导致原岗位不复存在，且无法安排其他岗位。
- 员工严重违纪：如盗窃、暴力、泄露商业秘密等行为，但需满足：
- 甲方需有明确规章制度，且规章制度已通过民主程序制定并公示；
- 违纪事实有充分证据（如监控、书面记录、员工签字确认等）；
- 退回前需通知工会（如有）并听取意见。
- 员工不能胜任工作：需满足：
- 甲方对员工有明确的考核标准；
- 员工经培训或调岗后仍无法胜任；
- 退回前需与派遣公司协商，并保留相关证据。
- 医疗期满或试用期不符条件：如员工患病医疗期满后不能从事原工作，或试用期被证明不符合录用条件。
若甲方无正当理由退回员工，派遣公司可能被迫违法解除劳动合同，需与甲方承担连带赔偿责任。
三、劳务外包/承揽关系下的间接处理方式
若第三方员工属于外包公司人员，甲方无权直接开除，但可通过以下方式降低风险：
- 合同约束：在与外包公司的合同中明确约定服务标准、违约责任，如员工严重违纪或不能胜任工作，外包公司需在规定时间内更换人员。
- 证据固定：若员工行为损害甲方利益（如损坏设备、泄露信息），需及时固定证据（如照片、视频、书面记录），并要求外包公司处理。
- 避免“事实劳动关系”：甲方需避免直接管理员工（如考勤、工资发放、奖惩决定），否则可能被认定为与员工存在事实劳动关系，需承担用人单位责任。
四、操作建议
- 审查合同：确认与第三方公司的合同类型及条款，明确双方权利义务。
- 完善制度：若为劳务派遣，需建立合法有效的规章制度，并确保员工知晓。
- 留存证据：对员工违纪、不能胜任工作等情形，需留存书面记录、签字确认等证据。
- 程序合规：退回或要求更换员工时，需履行通知工会、协商等法定程序。
若您对具体操作或证据固定有疑问，可直接向我咨询，我会结合您的实际情况提供详细方案。