核心结论：顾客购买商品后4个月要求开票，商家一般仍需为其开具发票，但具体处理方式需结合实际情况判断。以下从不同角度展开说明：

1. 从发票开具的法定义务角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，商家在销售商品或提供服务时，应当向付款方开具发票，这是法定义务。法律并未规定开票的“时效限制”，因此即使顾客在购买后4个月才提出开票要求，商家原则上仍需履行开票义务。若商家拒绝，可能面临税务机关的行政处罚（如罚款）。

2. 从合同履行与交易习惯角度
   若商家在销售时明确告知顾客“开票需在购买后XX日内提出”，且顾客同意（如通过店堂告示、合同条款等形式），则可能构成双方约定。但需注意：

   • 约定需合法合理，不能完全免除商家开票义务（如约定“购买后超过1个月不开票则视为放弃权利”可能无效）；
     
   • 商家需证明已尽到明确告知义务（如顾客签字确认、公告公示等），否则约定可能不被支持。

3. 从实际操作与风险防范角度

   • 建议优先开票：为避免税务风险或顾客投诉，商家可主动为顾客开具发票。若因时间久远导致开票信息丢失（如顾客未留存付款凭证），可要求顾客提供购买证明（如支付记录、商品照片等）辅助核实；
     
   • 协商处理：若商家确实存在开票困难（如系统未留存记录），可与顾客协商分期开票或提供其他补偿方案，但需确保不违反法律强制性规定；
     
   • 完善内部管理：商家应建立规范的开票流程，例如在销售时主动询问是否需要发票，或通过系统自动记录开票需求，减少后续纠纷。

总结：商家需以履行法定义务为前提，结合实际情况与顾客协商处理。若您是商家，建议优先开票；若您是顾客，可向商家说明购买事实并要求开票，若遭拒绝可向税务机关举报（拨打12366纳税服务热线）。如有其他细节需要进一步分析，欢迎随时向我咨询。