根据我国《刑法》及相关司法解释，两次盗窃行为可能面临行政处罚或刑事处罚，具体需结合盗窃数额、次数、是否入户、是否携带凶器等情节综合判断。以下是具体分析：

1. 盗窃数额的认定与法律后果

   • 第一次盗窃600余元：根据《最高人民法院、最高人民检察院关于办理盗窃刑事案件适用法律若干问题的解释》，盗窃公私财物价值1000元至3000元以上属于“数额较大”（各省标准可能不同，但600元通常未达刑事立案标准）。因此，第一次盗窃可能仅构成《治安管理处罚法》第四十九条规定的行政违法行为，处5-15日拘留，可并处1000元以下罚款。
     
   • 第二次盗窃2000余元：若当地“数额较大”标准为2000元（如部分省份），则第二次盗窃可能构成盗窃罪，面临3年以下有期徒刑、拘役或管制，并处或单处罚金；若未达2000元但属于“多次盗窃”（2年内盗窃3次以上），同样可能构成刑事犯罪。

2. “多次盗窃”的特殊情形
   根据《刑法》第二百六十四条及司法解释，2年内盗窃3次以上即构成“多次盗窃”，无需累计数额即可入罪。若您的两次盗窃行为发生在2年内，且存在第三次盗窃（无论数额），或第二次盗窃与第一次间隔较短、手段相似，可能被认定为“多次盗窃”，直接追究刑事责任。

3. 量刑情节的考量

   • 累犯或前科：若曾因盗窃受过刑事处罚或1年内受过行政处罚，可能从重处罚。
     
   • 自首/立功：主动投案或协助抓捕其他犯罪嫌疑人，可从轻或减轻处罚。
     
   • 退赃退赔：积极赔偿被害人损失并取得谅解，可酌情从宽处理。
     
   • 其他情节：如入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃等，即使数额未达“较大”标准，也可能直接构成犯罪。

4. 实务建议

   • 立即停止违法行为：避免因再次盗窃触发“多次盗窃”条款。
     
   • 主动退赃：联系被害人或公安机关退还赃款，争取从轻处理。
     
   • 咨询律师：若已被刑事拘留或收到《立案通知书》，尽快委托律师介入，通过会见、阅卷等程序制定辩护策略（如争取不起诉、缓刑或减轻量刑）。
     

温馨提示：法律后果因地区、情节差异可能有所不同，具体处理需以当地司法机关认定为准。若需进一步分析案件细节或制定应对方案，可直接向我提问，我将结合最新司法实践为您提供专业建议。