员工退休时，劳动合同在以下情况下会自动终止：
劳动者开始依法享受基本养老保险待遇：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第二项的规定，当劳动者开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同即行终止。这是基于劳动者在法律和社会保障层面已进入新的阶段，其基本生活已通过养老保险得到保障。例如，老张在一家企业工作了30年，到60周岁时累计缴纳养老保险18年，开始每月领取养老金，此时他与企业的劳动合同即行终止。
劳动者达到法定退休年龄：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条，劳动者达到法定退休年龄时，劳动合同原则上应终止。法定退休年龄一般男性为六十周岁，女性工人年满五十周岁，女性干部年满五十五周岁，具体可能因地区和政策调整而异。例如，老李从事井下矿工工作多年，属于特殊工种，55岁时就可以申请提前退休。经审批通过后，老李开始领取养老金，他与单位的劳动合同也相应终止。不过，在司法实践中，这一规定的执行存在争议，部分法院认为需同时考虑劳动者是否开始享受基本养老保险待遇。若劳动者退休后继续在用人单位工作且未签订新的劳动合同或协议，双方关系可能转变为劳务关系。
在劳动合同终止时，还需注意以下几点：
经济补偿问题：
- 在上述两种法定情形下，劳动合同的终止是基于法律规定的退休条件，而非用人单位的单方解除。因此，用人单位通常无需向劳动者支付经济补偿金。但如果存在特殊情况，如用人单位存在未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为导致劳动者被迫解除劳动合同，或者双方协商一致解除劳动合同时，可能需要支付相应的经济补偿。
社保及福利待遇处理：
- 劳动合同终止后，用人单位应按照规定为劳动者办理社保减员手续，停止缴纳社保费用。对于劳动者应享受的医疗保险待遇、住房公积金提取等问题，应按照相关政策和规定进行处理。
后续工作安排：
- 如果劳动者在退休后希望继续工作，可以与用人单位协商签订劳务合同或其他形式的协议，明确双方的权利和义务。但这种关系不再受《劳动合同法》的调整，而是适用《民法典》等相关法律法规。例如，老刘达到法定退休年龄时，由于缴费年限不足15年，无法立即享受基本养老保险待遇。虽然他的劳动合同依法终止了，但他可能仍会与企业协商，看是否能以其他形式继续留在企业工作或解决养老保险待遇问题。
特殊情况说明：
提前退休：
- 在某些特殊情况下，劳动者可以提前办理退休手续并享受基本养老保险待遇，劳动合同也随之终止。提前退休一般包括特殊工种提前退休、病退等情形。
未享受养老保险待遇但达法定退休年龄：
- 即使劳动者达到了法定退休年龄，但由于各种原因未能满足享受基本养老保险待遇的条件，按照法律规定，劳动合同也会终止。不过，这种情况下用人单位与劳动者之间的关系处理可能会比较复杂，需要根据具体情况进行判断和处理。
综上所述，员工退休时劳动合同的终止情形多样，用人单位应依据相关法律法规和当地司法实践，妥善处理劳动合同终止事宜，确保双方权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。