当公司违法终止劳动合同时，劳动者确实有权要求继续履行劳动合同，这一权利受到《中华人民共和国劳动合同法》的明确保障。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条的规定，用人单位若违反本法规定解除或终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行。这一条款为劳动者在遭遇违法辞退时提供了法律救济途径，即要求恢复原有的劳动关系。
二、要求继续履行的条件与考量
客观条件允许：
- 劳动者能否实际继续履行合同，需考虑用人单位的岗位需求及劳动合同是否存在客观上无法继续履行的障碍。
- 若原工作岗位仍然存在，且用人单位未进行大规模业务调整或组织架构变动，导致岗位依然适合劳动者，则继续履行合同具备现实可能性。
劳动者主观意愿：
- 劳动者需明确表示愿意继续履行劳动合同，这是继续履行合同的主观前提。
继续履行存在困难的情形：
- 若原工作岗位已被其他员工替代，且新员工对岗位有合理的信赖利益，或用人单位因经营困难已停止相关业务，导致原岗位不复存在，则劳动合同可能事实上已无法继续履行。
三、若无法继续履行或劳动者选择不要求继续履行
支付赔偿金：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，若劳动者不要求继续履行劳动合同或劳动合同已经不能继续履行，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿金计算标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
四、建议与注意事项
及时提出申请：
- 劳动者应在得知公司违法终止劳动合同后，及时以书面形式向用人单位提出继续履行劳动合同的要求，并保留相关送达证据。
关注仲裁和诉讼时效：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。超过时效可能丧失要求继续履行的权利。
证据收集与保留：
- 劳动者应收集和保留相关证据，如劳动合同、工资支付记录、终止劳动合同通知书等，以证明公司存在违法终止劳动合同的行为。这些证据在协商、仲裁或诉讼过程中将起到关键作用。
综上所述，当公司违法终止劳动合同时，劳动者有权根据实际情况要求继续履行劳动合同或主张赔偿金。在维护自身权益的过程中，劳动者应及时提出申请、关注时效、收集证据，并根据具体情况做出合理选择。