护士提出离职而护士长不肯签字，护士可以通过以下途径维权：

1. 明确离职的法定程序：

   • 根据《劳动合同法》的规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。这意味着，只要护士提前三十天以书面形式向医院（用人单位）提出了离职申请，并且这个申请已经送达给了医院（比如通过挂号信、电子邮件等方式留存证据），那么三十天后，护士与医院的劳动关系就依法解除了，无需护士长签字同意。
   • 如果护士还在试用期内，那么提前三日通知用人单位即可解除劳动合同。

2. 与医院协商：

   • 在明确了自己的法定权利后，护士可以尝试与医院或护士长进行协商，解释自己的离职意愿和法定权利，争取达成一个双方都能接受的离职协议。
   • 协商过程中，可以保持冷静和理性，避免情绪化的冲突，同时做好记录，以备后续需要。

3. 向医院上级部门或劳动监察部门投诉：

   • 如果协商无果，护士可以向医院的上级部门（如卫生局、卫健委等）进行投诉，反映护士长不肯签字的情况，并请求上级部门介入调解。
   • 同时，护士也可以向当地的劳动监察部门投诉，劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并可以责令用人单位改正。

4. 申请劳动仲裁：

   • 如果投诉后问题仍未得到解决，护士可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求确认自己与医院的劳动关系已经解除，并可以要求医院出具离职证明、办理档案和社会保险关系转移等手续。
   • 劳动仲裁是解决劳动争议的一种有效方式，其裁决具有法律效力，双方都必须履行。

5. 提起诉讼：

   • 如果对劳动仲裁的结果不满意，护士还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法程序来维护自己的合法权益。

在维权过程中，护士需要注意以下几点：

• 保留好所有与离职相关的证据，如离职申请书、送达证明、与医院或护士长的沟通记录等。
• 遵守法定程序，不要采取过激或违法的行为来维权。
• 及时咨询专业律师（即向我咨询），了解自己的权利和义务，以及维权的最佳途径和策略。