结论前置：医院辞职院长不签字，并不影响辞职的效力，你可以通过以下方式来处理这个问题。
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。这意味着，只要劳动者按照法定程序提前通知了用人单位，无论用人单位是否同意或签字，劳动者都有权在通知期满后离职。
二、具体处理方式
书面通知并保留证据：
- 你应当以书面形式（如辞职信、邮件等）向医院提出辞职申请，并明确表明离职的日期（通常为提出辞职后的三十日）。
- 保留好这份书面通知的副本或截图，作为你已经履行了法定通知义务的证据。
与院长或人事部门沟通：
- 尽管院长不签字不影响辞职的效力，但你可以尝试与院长或医院的人事部门进行沟通，了解他们不签字的原因，并尝试协商解决。
- 如果沟通无果，你可以明确告知他们，你已经按照法律规定提前通知了离职，无论他们是否签字，你都有权在通知期满后离职。
办理离职手续：
- 在通知期满后，你可以按照医院的离职流程办理离职手续，如交接工作、归还医院财物等。
- 如果医院拒绝为你办理离职手续或设置障碍，你可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
三、可能遇到的法律后果与应对
医院可能以未签字为由拒绝放行：
- 如前所述，院长的签字并不是辞职生效的必要条件。你可以向医院出示你提前通知的书面证据，并坚持要求按照法律规定办理离职手续。
医院可能扣发工资或奖金：
- 如果医院以未签字为由扣发你的工资或奖金，你可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求医院支付应得的劳动报酬。
四、建议与提醒
- 在整个过程中，保持冷静和理性，避免与医院发生不必要的冲突或争执。
- 保留好所有与辞职相关的证据和文件，以备不时之需。
- 如果对法律程序或规定不熟悉，可以寻求专业律师的帮助或咨询当地的劳动监察部门。
最后，如果你在处理这个问题过程中遇到任何困难或疑问，都可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供更详细和专业的法律建议。