针对醉酒多次追着殴打未成年人造成轻微伤的情况，处理方式如下：

1. 刑事责任层面：

   • 故意伤害罪的认定：根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。虽然本案中未成年人仅受轻微伤，未达到轻伤标准（通常需司法鉴定确认），但若行为人存在多次殴打、针对未成年人等恶劣情节，可能被认定为“情节恶劣”，从而构成寻衅滋事罪（《刑法》第二百九十三条）。根据司法实践，随意殴打未成年人造成轻微伤，且具有“多次实施”等情形的，可按寻衅滋事罪追究刑事责任，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
   • 从重处罚情节：根据《刑法》第十七条之一，已满七十五周岁的人故意犯罪的，可以从轻或者减轻处罚；但本案中行为人若为醉酒状态，虽《刑法》第十八条第四款规定“醉酒的人犯罪，应当负刑事责任”，但醉酒本身不作为从轻情节，反而可能因主观恶性加深被从重处罚。此外，针对未成年人实施犯罪，根据《刑法》第十七条，对未成年人、老年人、残疾人等特殊群体实施犯罪的，依法从重处罚。

2. 行政责任层面：

   • 治安管理处罚：若伤情未达刑事立案标准（如轻微伤未被认定为寻衅滋事罪），行为人可能面临《治安管理处罚法》第四十三条的处罚：殴打他人的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。针对未成年人、多次实施等情形，属于“情节较重”，可处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。

3. 民事赔偿层面：

   • 赔偿范围：根据《民法典》第一千一百七十九条，行为人需赔偿未成年人医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入（若监护人因陪护产生误工）。若造成精神损害，根据《民法典》第一千一百八十三条，未成年人及其监护人可主张精神损害赔偿。
   • 赔偿程序：监护人可先行与行为人协商赔偿；协商不成，可向法院提起民事诉讼，要求行为人承担侵权责任。若行为人无力赔偿，可申请强制执行其财产。

4. 特殊保护措施：

   • 未成年人保护：根据《未成年人保护法》第一百二十九条，公安机关、人民检察院、人民法院在办理涉及未成年人案件时，应考虑未成年人身心特点和健康成长需要，使用未成年人能够理解的语言和方式，并提供心理疏导等帮助。本案中，未成年人可能因遭受暴力产生心理创伤，监护人可申请司法机关委托专业机构进行心理评估，并要求行为人承担心理治疗费用。
   • 人身安全保护令：若监护人担心行为人再次实施侵害，可依据《反家庭暴力法》第二十三条（若行为人与未成年人有家庭关系）或《未成年人保护法》第一百零八条（一般情形），向法院申请人身安全保护令，禁止行为人接近未成年人及其住所、学校等场所。

建议行动步骤：

1. 立即报警，要求公安机关立案侦查（若涉嫌刑事犯罪）或进行治安处罚；
2. 保留医疗记录、监控录像、证人证言等证据；
3. 向当地妇联、未成年人保护中心等机构求助，申请心理干预等支持；
4. 咨询律师，评估是否提起刑事附带民事诉讼或单独民事诉讼，最大化维护未成年人权益。

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体证据和案情提供详细法律意见。