公安机关不履行法律职责的情形主要包括以下几种：
不依法立案或撤销案件：
- 当公安机关接到报案、控告、举报或自首材料后，对于符合立案条件的案件，如果不依法立案，或者对于不符合立案条件但已经立案的案件不依法撤销，均属于不履行法律职责。例如，对于明显的犯罪行为，公安机关因种种原因（如地方保护、人情关系等）不予立案，就构成了不履行职责。
不依法进行侦查或调查：
- 在立案后，公安机关有义务依法进行侦查或调查，收集证据，查明事实。如果公安机关怠于侦查，不积极收集证据，或者对明显需要进一步调查的线索不予理会，导致案件无法及时侦破或处理，也属于不履行法律职责。
不依法采取强制措施：
- 在侦查过程中，如果犯罪嫌疑人符合法定条件，公安机关应当依法采取强制措施，如拘留、逮捕等。如果公安机关明知犯罪嫌疑人符合强制措施条件而不采取，或者错误地不采取强制措施，导致犯罪嫌疑人逃脱或继续犯罪，同样构成不履行法律职责。
不依法移送审查起诉或作出其他处理：
- 在侦查终结后，公安机关应当将案件移送人民检察院审查起诉，或者根据案件情况作出其他处理（如撤销案件、行政处罚等）。如果公安机关不依法移送审查起诉，或者错误地作出其他处理，也属于不履行法律职责。
不依法执行判决、裁定：
- 在刑事诉讼中，如果法院作出了判决或裁定，公安机关有义务依法执行。如果公安机关不依法执行判决、裁定，如拒绝执行、拖延执行或执行不当等，也构成不履行法律职责。
其他不依法履行职责的情形：
- 除了上述具体情形外，公安机关在履行职责过程中，如果存在其他违反法律规定、不依法履行职责的行为，如滥用职权、玩忽职守、徇私舞弊等，也属于不履行法律职责的范畴。
法律后果与建议：
- 如果公安机关存在不履行法律职责的情形，相关当事人可以向其上级机关或监察机关投诉、举报，要求依法处理。
- 在极端情况下，如果公安机关的不履行职责行为导致了严重后果，相关责任人员还可能面临刑事责任追究。
- 对于普通公民而言，如果遇到公安机关不履行法律职责的情况，建议及时收集证据，向相关部门反映情况，并寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。
总结：公安机关作为执法机关，必须严格依法履行职责，保障公民的合法权益。如果公安机关存在不履行法律职责的情形，相关当事人有权依法维权。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。