结论前置：是否需要赔偿取决于您与第三方公司的具体关系以及未签合同的原因。在劳动法律关系中，若第三方公司作为用人单位未与您签订书面劳动合同，根据法律规定，您有权要求其支付双倍工资等赔偿；若您与第三方公司并非劳动关系，而是其他法律关系，则赔偿问题需根据具体情况和双方约定来判断。
一、劳动法律关系下的赔偿分析
劳务派遣情形
- 如果您是通过劳务派遣方式在第三方公司工作，那么劳务派遣单位（即您的名义上的用人单位）有义务与您签订书面劳动合同。若劳务派遣单位未与您签订合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，自用工之日起超过一个月不满一年未签订书面劳动合同的，劳务派遣单位应向您每月支付二倍的工资；满一年仍未签订的，视为已订立无固定期限劳动合同，并应补订书面合同，同时支付前述期间的双倍工资。
- 实际用工的第三方公司（用工单位）通常不与您构成直接的劳动关系，因此一般无直接签约义务。但是，如果因为用工单位的原因导致劳务派遣单位无法与您签订合同，并给您造成了损害，用工单位可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
其他劳动法律关系
- 如果您直接与第三方公司建立了劳动关系，而第三方公司未与您签订书面劳动合同，同样适用上述《劳动合同法》中关于未签合同的规定，即您有权要求第三方公司支付双倍工资，并可能确立无固定期限劳动合同关系。
二、非劳动法律关系下的赔偿分析
- 如果您与第三方公司并非劳动关系，而是承揽、委托、服务等其他法律关系，那么赔偿问题将取决于双方的具体约定以及相关法律法规的规定。在这种情况下，如果因为未签合同给您造成了损失，您可能需要根据《中华人民共和国民法典》中关于合同违约或侵权责任的规定来主张赔偿。
三、赔偿计算方式（以劳动法律关系为例）
- 确定赔偿月数：从用工满一个月的次日计算至补签劳动合同前一天，或至满一年的前一天（最长不超过十一个月）。
- 计算月工资标准：包括基本工资、奖金、津贴等所有货币性收入。
- 核算双倍工资：月工资标准乘以赔偿月数得出双倍工资总额。
四、建议与提醒
- 及时签订合同：无论您与第三方公司是何种关系，都建议您在入职或开始合作时及时签订书面合同，明确双方的权利义务，以避免纠纷。
- 保留证据：如果因为未签合同而产生了纠纷，建议您保留好相关证据，如工作记录、工资单、沟通记录等，以便在主张赔偿时提供有力支持。
- 寻求法律帮助：如果您对赔偿问题有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。
综上所述，是否需要赔偿以及赔偿的具体金额取决于您与第三方公司的具体关系以及未签合同的原因。在处理此类问题时，建议您根据具体情况咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。