雇佣员工不签合同在大多数情况下确实是违法的，但具体是否违法以及如何处理，还需根据用工类型及实际情况来判断。以下是对这一问题的详细解答：
一、劳动关系下的合同签订要求
在劳动关系中，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。具体来说：
一个月内：法律允许用人单位在用工之日起一个月内与劳动者签订书面劳动合同。在这个时间段内，如果尚未签订合同，并不构成违法。
超过一个月不满一年：如果用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者签订书面劳动合同，那么用人单位需要向劳动者每月支付二倍的工资。这个二倍工资的起算时间是用工之日起满一个月的次日，一直计算到补订书面劳动合同的前一日止。
满一年：如果用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者签订书面劳动合同，那么法律将视为双方已经订立了无固定期限劳动合同。同时，用人单位还需要自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，向劳动者每月支付两倍的工资。
二、非全日制用工的特殊性
对于非全日制用工，即那些以小时计酬为主，且劳动者在同一用人单位平均每日工作时间不超过四小时，每周工作时间累计不超过二十四小时的用工形式，双方当事人是可以订立口头协议的。因此，在非全日制用工的情形下，不签订书面劳动合同并不违法。
三、劳务关系下的合同签订原则
如果双方建立的是劳务关系，而非劳动关系，那么是否签订合同则遵循意思自治原则。法律并没有强制规定必须签订书面合同，双方可以通过口头或其他方式来约定各自的权利和义务。然而，从证据保存、明确双方权利义务等角度出发，即使建立的是劳务关系，也建议签订书面合同。
四、不签合同的法律风险及处理建议
不签订劳动合同可能导致用人单位在面临劳动争议时处于不利地位，因为缺乏明确的合同条款来界定双方的权利和义务。这不仅可能增加解决争议的难度和成本，还可能损害用人单位的声誉和利益。
处理建议：
及时补签合同：如果用人单位发现尚未与劳动者签订书面劳动合同，应尽快与劳动者协商并补签合同，以避免法律风险和额外的经济支出。
加强内部管理：用人单位应建立健全的用工管理制度，确保在用工之日起一个月内与劳动者签订书面劳动合同，并妥善保管合同文本。
咨询法律专业人士：如果用人单位对合同签订、劳动争议处理等方面存在疑问或困惑，建议咨询法律专业人士或相关机构，以获取专业的法律意见和帮助。
综上所述，雇佣员工不签合同在大多数情况下是违法的，特别是当双方建立的是劳动关系时。为了保障双方的权益和明确责任，建议用人单位在雇佣员工时务必遵守相关法律法规的规定，及时与劳动者签订书面的劳动合同。