结论：寻衅滋事一方被对方打伤是否犯罪，需根据具体情况判断，可能构成正当防卫不犯罪，也可能构成防卫过当或故意伤害罪而犯罪。以下从不同角度详细分析：

一、可能构成正当防卫，不犯罪的情况

在特定条件下，寻衅滋事一方被对方打伤，对方的行为可能属于正当防卫，从而不构成犯罪。这些条件包括：

1. 存在不法侵害：寻衅滋事行为本身即构成不法侵害，如随意殴打、追逐、拦截、辱骂、恐吓等破坏社会秩序的行为。例如，甲在街头无故挑衅乙，并对乙进行辱骂和攻击，此时乙面临不法侵害。
2. 防卫目的正当：行为人反击的目的是为了保护自己、他人的人身权利或公共利益，防止不法侵害的继续，而非出于报复或其他非法目的。在上述例子中，乙反击是为了保护自身安全。
3. 防卫时间适时：防卫行为必须发生在不法侵害正在进行时，不能提前或事后进行。若甲正在攻击乙时，乙进行反击，属于适时防卫。
4. 防卫限度合理：根据《中华人民共和国刑法》第二十条，正当防卫若明显超过必要限度造成重大损害，应负刑事责任，但可减轻或免除处罚。对于严重危及人身安全的寻衅滋事行为，采取防卫行为造成轻伤，可能仍在正当防卫的限度内。比如，甲持械攻击乙，乙夺下器械反击致甲轻伤，乙的行为可能被认定为正当防卫。

二、可能构成防卫过当或故意伤害罪，犯罪的情况

然而，在某些情况下，寻衅滋事一方被对方打伤，对方的行为可能构成防卫过当或故意伤害罪：

1. 防卫过当：若寻衅滋事者的行为并未严重危及人身安全，而行为人采取的反击行为明显超过了必要限度，造成轻伤后果，则可能构成防卫过当，需承担刑事责任，但可减轻或免除处罚。例如，甲徒手挑衅乙，乙却用刀具重伤甲，乙的反击行为就可能超过了必要限度。
2. 故意伤害：
   • 报复心理：若行为人在寻衅滋事行为结束后，出于报复心理对寻衅滋事者进行殴打并造成轻伤，则构成故意伤害罪。比如，甲挑衅乙后离开，乙觉得不解气，随后找到甲并将其打伤。
   • 借机实施伤害：若行为人本身即有伤害他人的故意，借寻衅滋事之机对他人进行殴打并造成轻伤，同样构成故意伤害罪。例如，乙一直想伤害甲，正好遇到甲寻衅滋事，便借机将甲打伤。

三、法律建议

1. 保留证据：无论是寻衅滋事一方还是被打一方，都应及时验伤、收集现场监控或证人证言等证据，以便在后续处理中维护自己的合法权益。
2. 配合调查：如实向警方陈述事实，避免隐瞒或夸大，确保警方能够准确了解事件经过，依法进行处理。
3. 寻求专业帮助：如果对事件的处理存在疑问或担忧，可以向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。

法律依据：《中华人民共和国刑法（2023修正）》第二十条 为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为，对不法侵害人造成损害的，属于正当防卫，不负刑事责任。正当防卫明显超过必要限度造成重大损害的，应当负刑事责任，但是应当减轻或者免除处罚。对正在进行行凶、杀人、抢劫、强奸、绑架以及其他严重危及人身安全的暴力犯罪，采取防卫行为，造成不法侵害人伤亡的，不属于防卫过当，不负刑事责任。

希望以上解答能够帮助你理解相关法律问题，如果有其他疑问，欢迎继续向我咨询。