在公交车躲避私家车导致车内人员摔倒的情况下，责任归属需根据具体情形进行细致分析，以下是一些可能的情况及对应的责任判定：
私家车存在过错：
- 若私家车存在闯红灯、超速、逆行、随意变道等违反交通规则的行为，导致公交车不得不采取紧急避险措施，进而造成车内人员摔倒，那么私家车通常应承担主要甚至全部责任。这是因为根据《中华人民共和国民法典》第一百八十二条，因紧急避险造成损害的，由引起险情发生的人承担民事责任。在此情况下，私家车是引起险情的人。
公交车存在过错：
- 如果公交车在躲避私家车的过程中，存在操作不当（如急刹车过猛、突然变道等）或未尽到安全驾驶义务（如未保持足够车距、未观察路况等），导致车内人员摔倒，那么公交车也可能需承担一定责任。此时，责任比例将由交警根据双方违法行为对事故发生的作用及过错严重程度来确定。
双方均无过错或存在意外情况：
- 若双方均无过错，且摔倒完全是由于不可预见的意外情况（如第三方突然窜出、道路障碍物等）导致，那么根据公平原则，双方可能分担一定损失，或考虑给予受伤方适当补偿。不过，这种情况在现实中较为少见，且具体责任划分需由交警或法院根据实际情况进行判定。
紧急避险措施的适当性：
- 公交车司机在采取紧急避险措施时，若判断失误或操作不当导致车内人员摔倒并造成损害，也需承担一定责任。这要求公交车司机在紧急情况下保持冷静，采取合理且必要的避险措施。例如，如果公交车司机在躲避私家车时，本可以选择更平稳的避险方式，但却选择了急刹车，导致车内人员摔倒，那么公交车司机就可能因避险措施不当而承担责任。
针对此类事故，我建议采取以下措施：
- 立即报警：发生事故后，公交车司机和乘客应立即报警，由交警部门进行现场勘查和责任认定。这是确保事故得到公正处理的关键步骤。
- 保留证据：现场照片、监控视频、证人证言等都是重要的证据材料，对于后续责任认定和赔偿协商具有至关重要的作用。因此，乘客应尽可能收集并保留这些证据。
- 及时就医并保留医疗记录：如果乘客在事故中受伤，应及时就医并保留好医疗记录。这些记录将作为后续赔偿协商和诉讼的重要依据。
最后，我想强调的是，交通事故的责任认定是一个复杂而细致的过程，需要综合考虑多种因素。因此，在处理此类事故时，当事人应保持冷静，及时采取措施保护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。