关于乘客赶公交摔伤谁的责任这一问题，需要分情况讨论，具体如下：
公交公司可能承担责任的情形
- 公交车司机操作不当：如果公交司机在驾驶过程中存在急刹车、加速过猛或转弯过快等不当操作，导致乘客在赶公交或乘车过程中摔伤，公交公司通常需要承担赔偿责任。这是因为公交司机在驾驶过程中负有保障乘客安全的义务，其不当操作直接导致了乘客的受伤。
- 公交车本身存在安全隐患：如果公交车存在安全隐患，如座椅松动、地板湿滑且未设置警示标志等，导致乘客摔伤，公交公司同样需要承担责任。公交公司有义务确保车辆设施完好、安全可用，并定期进行维护和检查。
- 未履行安全告知义务：在特殊情况下，如恶劣天气、道路施工等，公交公司应向乘客进行安全提示。如果未履行此义务，导致乘客因路面状况不佳或赶车心切而摔伤，公交公司可能需承担部分责任。
乘客自身可能承担责任的情形
- 乘客自身存在过错：如果乘客摔伤是由于自身的故意或重大过失行为导致的，如急于上下车、在车厢内奔跑、打闹或未抓好扶手等，乘客需自行承担主要或全部责任。在这种情况下，公交公司可以证明伤亡是乘客故意或重大过失造成的，从而免除或减轻自身的赔偿责任。
特殊情况下的责任划分
- 多方混合责任：在某些情况下，摔伤事故可能由多种因素共同导致，如公交车司机操作不当与乘客未抓好扶手同时存在。此时，法院会根据各方过错程度，划分各自应承担的责任比例。
- 交通事故导致的摔伤：如果摔伤是因公交车与其他车辆发生交通事故所致，则需根据交通事故责任认定来确定责任方。可能涉及公交公司、对方车辆驾驶员及保险公司等多方责任主体。在这种情况下，乘客可以向公交公司或对方车辆驾驶员及其保险公司主张赔偿。
法律建议：
- 及时保留证据：在发生摔伤事故后，乘客应及时报警、就医，并保留好相关证据，如监控录像、医疗记录、证人证言等。这些证据将有助于后续的责任认定和赔偿请求。
- 了解自身权益：乘客应了解自己在《中华人民共和国民法典》等法律法规下的权益，以便在发生事故时能够维护自己的合法权益。
- 寻求法律帮助：如果乘客对责任认定或赔偿问题存在疑问或争议，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。
总之，乘客赶公交摔伤的责任划分是一个复杂的过程，需要综合考虑事故原因、各方过错程度及法律法规等因素。在处理此类事故时，乘客应保持冷静，及时采取措施保护自己的权益，并寻求专业的法律帮助。