司机突发疾病死亡，挂靠公司是否承担工伤保险责任需分情况讨论：

1. 若司机与挂靠公司存在事实劳动关系
   根据《工伤保险条例》及司法实践，若司机虽以挂靠形式从事运输工作，但实际接受挂靠公司管理、由公司发放工资、受公司规章制度约束，双方形成事实劳动关系，则司机因突发疾病死亡可能被认定为工伤。此时挂靠公司需承担工伤保险责任，包括支付工亡补助金、丧葬补助金等。
   法律依据：《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡或在48小时内经抢救无效死亡的，视同工伤。

2. 若司机与挂靠公司仅为挂靠关系，无事实劳动关系
   若司机自主经营、自负盈亏，仅以挂靠公司名义从事运输，双方无劳动管理关系（如不接受考勤、不领取固定工资等），则一般不认定为工伤。此时挂靠公司无需承担工伤保险责任，但需注意：

   • 若挂靠公司未为司机缴纳工伤保险，司机家属可能依据《最高人民法院关于审理工伤保险行政案件若干问题的规定》第三条，要求挂靠公司参照工伤保险待遇赔偿；
     
   • 若司机死亡与工作无直接关联（如非工作时间、非工作岗位突发疾病），则无论是否挂靠，均不构成工伤。

3. 特殊情形：挂靠公司违法用工
   若挂靠公司通过挂靠形式规避用工责任（如未签订劳动合同、未缴纳社保），司法实践中可能突破“劳动关系”限制，直接认定挂靠公司承担工伤保险责任。例如，最高人民法院公报案例中明确：挂靠单位与被挂靠车辆实际车主聘用的人员之间，可能被认定为存在事实劳动关系。

建议行动：

• 立即收集证据（如劳动合同、工资记录、考勤记录、工作安排记录等），证明司机与挂靠公司的实际关系；
  
• 若构成工伤，挂靠公司应在30日内申请工伤认定，逾期未申请的，司机家属可在1年内自行申请；
  
• 若挂靠公司拒绝赔偿，可通过劳动仲裁或诉讼主张权益，同时可向劳动监察部门举报公司违法用工行为。

如有进一步细节（如事故时间、地点、司机工作状态等），可向我补充说明，以便更精准分析。