结论：公安拘留了犯罪嫌疑人但未及时移送检察机关审查起诉，可能涉及程序违法或渎职责任，具体责任需根据未移送的原因、期限及造成的后果综合判断。以下从法律程序、责任类型及救济途径三个角度展开分析：

一、法律程序要求：拘留后需及时移送审查起诉

根据《刑事诉讼法》第91条、第175条，公安机关对犯罪嫌疑人采取刑事拘留措施后，需在法定期限内完成侦查并移送检察机关审查起诉：

1. 拘留期限：一般刑事拘留最长为14日（特殊情况下可延长至37日）；
2. 移送期限：拘留后应尽快侦查取证，原则上应在拘留期限内完成侦查并移送起诉。若需补充侦查，可退回公安机关补充侦查（以两次为限，每次期限为1个月），但补充侦查后仍需及时移送。

关键点：若公安机关无正当理由长期拘留不移送，可能违反法定程序，涉嫌程序违法。

二、公安机关可能承担的责任类型

1. 程序违法责任

• 法律依据：《刑事诉讼法》第11条、第117条明确规定，公安机关必须严格依照法定程序办案，若违反程序规定（如超期拘留、无正当理由不移送），当事人有权向检察机关申诉或控告。
• 后果：检察机关可要求公安机关说明理由，若理由不成立，可能责令纠正；若因程序违法导致证据无效或案件被撤销，相关责任人可能面临内部纪律处分。

2. 渎职责任（刑事责任）

• 适用情形：若公安机关工作人员存在故意拖延、徇私枉法等行为，导致犯罪嫌疑人被超期羁押或案件长期未处理，可能构成《刑法》第397条规定的“滥用职权罪”或“玩忽职守罪”。
• 立案标准：需证明责任人员存在主观故意或重大过失，且造成了严重后果（如犯罪嫌疑人被非法羁押、案件证据灭失等）。

3. 国家赔偿责任

• 适用情形：若公安机关的违法行为（如超期拘留）导致犯罪嫌疑人人身自由受损，根据《国家赔偿法》第17条，犯罪嫌疑人有权申请国家赔偿。
• 赔偿范围：包括被拘留期间的误工费、精神损害抚慰金等（具体标准参照《国家赔偿法》第33条、第35条）。

三、当事人及家属的救济途径

1. 向检察机关申诉：根据《刑事诉讼法》第117条，当事人可向同级或上级检察机关提出申诉，要求检察机关监督公安机关纠正违法行为。
2. 申请取保候审：若拘留期限届满但未移送起诉，犯罪嫌疑人或其家属可向公安机关申请取保候审，避免超期羁押。
3. 提起国家赔偿：若确认公安机关存在违法行为且造成损害，可在刑事诉讼程序终结后向赔偿义务机关（公安机关）申请国家赔偿。

四、实务建议

1. 及时委托律师介入：律师可会见犯罪嫌疑人、查阅案卷，向公安机关或检察机关提出书面意见，督促程序合法进行。
2. 固定证据：若怀疑公安机关存在违法行为，应保留相关证据（如拘留通知书、沟通记录等），为后续申诉或赔偿提供依据。
3. 关注案件进展：定期与办案机关沟通，了解案件是否已移送起诉，避免因信息滞后导致权利受损。

总结：公安机关拘留后未及时移送起诉，可能涉及程序违法、渎职或国家赔偿责任。当事人及家属应通过法律途径监督程序合法性，必要时委托律师协助维权。如有具体案件细节，可直接向我咨询进一步分析。