申请行政机关履职的法律依据主要来源于《中华人民共和国行政诉讼法》及相关法律法规的规定。以下从不同角度为您详细分析：
《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条：
- 该条款明确规定了人民法院受理公民、法人或者其他组织提起的诉讼范围，其中包括“申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的”情形。这意味着，如果行政机关未履行其法定职责，公民、法人或其他组织有权向人民法院提起诉讼，要求行政机关履行职责。
《中华人民共和国行政复议法》的相关规定：
- 虽然行政复议法主要规范的是行政复议程序，但其中也隐含了行政机关应履行法定职责的要求。如果行政机关未履行职责，申请人可以在申请行政复议时提出，要求复议机关责令行政机关履行职责。
具体行政领域的法律法规：
- 除了上述通用法律外，不同行政领域还有各自的专门法律法规，这些法律法规中往往也规定了行政机关的职责和履职要求。例如，在环境保护领域，《中华人民共和国环境保护法》就明确规定了环保部门的职责和履职要求。如果环保部门未履行职责，相关利益方可以依据该法提起诉讼或申请行政复议。
行政机关的承诺或规定：
- 在某些情况下，行政机关可能通过公告、通知或其他形式向公众承诺履行某些职责或提供某些服务。如果行政机关未履行这些承诺或规定，公众也有权要求其履行。
法律建议：
- 如果您认为行政机关未履行其法定职责，首先可以尝试与行政机关沟通，要求其履行职责。
- 如果沟通无果，您可以考虑向上一级行政机关或相关监督部门投诉，要求其督促下级行政机关履行职责。
- 同时，您也有权直接向人民法院提起诉讼，要求行政机关履行职责。在提起诉讼前，建议您收集好相关证据，如行政机关的拒绝答复、未履行职责的证明材料等。
可能的法律后果：
- 如果行政机关被认定未履行法定职责，人民法院可能会判决其履行职责，并可能对其处以罚款或其他处罚。
- 对于行政机关的直接责任人员，如果其行为构成违法或犯罪，还可能依法追究其个人责任。
综上所述，申请行政机关履职的法律依据是多方面的，既包括通用法律如《行政诉讼法》，也包括具体行政领域的法律法规。如果您遇到行政机关未履行职责的情况，可以根据上述法律依据和法律建议采取相应措施。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。