申请行政机关履行法定职责的行政案件，其法律依据主要来源于《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释，具体分析如下：
一、核心法律依据
《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条
- 条款内容：人民法院受理公民、法人或者其他组织提起的下列诉讼：…（六）申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的；…
- 法律解释：此条款明确规定了，当公民、法人或其他组织认为行政机关未履行其保护人身权、财产权等合法权益的法定职责时，有权向人民法院提起诉讼。这是申请行政机关履行法定职责行政案件最直接、最核心的法律依据。
《中华人民共和国行政诉讼法》第三十八条
- 条款内容：在起诉被告不履行法定职责的案件中，原告应当提供其向被告提出申请的证据。但有下列情形之一的除外：（一）被告应当依职权主动履行法定职责的；（二）原告因正当理由不能提供证据的。
- 法律解释：此条款规定了原告在起诉行政机关不履行法定职责时，需要承担的举证责任，即提供其已向行政机关提出申请的证据。但同时也明确了例外情况，如行政机关应依职权主动履行或原告因正当理由不能提供证据时，可免除原告的举证责任。
二、相关司法解释及实践应用
最高人民法院相关司法解释
- 在司法实践中，最高人民法院会针对行政诉讼法的具体应用发布一系列司法解释，这些解释进一步细化了申请行政机关履行法定职责行政案件的审理标准和程序。例如，对于如何认定行政机关是否已履行法定职责、如何判断原告的申请是否合法等，都有详细的解释和规定。
实践应用中的注意事项
- 申请内容的明确性：原告在向行政机关提出申请时，应确保申请内容明确、具体，以便行政机关能够准确理解并作出相应处理。
- 申请方式的合法性：原告应按照法律规定的程序和方式向行政机关提出申请，如通过书面形式、按照规定的流程等。
- 举证责任的承担：在诉讼过程中，原告应积极承担举证责任，提供充分的证据证明其已向行政机关提出申请且行政机关未履行法定职责。
三、法律建议
- 在申请前充分了解相关法律法规：原告在向行政机关提出申请前，应充分了解相关法律法规和政策规定，确保自己的申请合法、合理。
- 保留好相关证据：原告在申请过程中应保留好相关证据，如申请书、邮寄凭证、行政机关的回复等，以便在诉讼过程中作为证据使用。
- 及时寻求法律帮助：如果原告在申请过程中遇到困难或疑问，应及时寻求专业律师的法律帮助，以确保自己的合法权益得到有效维护。
如果您在申请行政机关履行法定职责过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。