结论：冒充车主把租来的车抵押，并且有聊天记录承认是自己的车，这一行为很可能构成诈骗罪，此类案件应由公安机关管辖。

详细分析：

1. 诈骗罪的构成：

   • 主观方面：诈骗罪要求行为人具有非法占有的目的。在此案例中，冒充车主将租来的车抵押，显然是为了获取不正当的经济利益，即非法占有抵押所得款项，符合诈骗罪的主观要件。
   • 客观方面：诈骗罪要求行为人实施了欺骗行为，使被害人产生错误认识，并基于这种错误认识处分财产。在此案例中，冒充车主并声称车辆是自己的，就是一种欺骗行为。如果抵押权人（即被害人）基于这种错误认识接受了车辆作为抵押，并支付了款项，那么就符合了诈骗罪的客观要件。
   • 客体方面：诈骗罪侵犯的客体是公私财产所有权。在此案例中，抵押权人的财产权益受到了侵害，因为车辆并非行为人所有，其无权进行抵押。

2. 聊天记录的证据作用：

   • 聊天记录作为电子数据，是法律认可的证据形式之一。如果聊天记录中明确承认车辆是自己的，这将成为证明行为人实施欺骗行为的重要证据。在司法实践中，聊天记录往往被用来证明当事人的主观意图和客观行为。

3. 案件管辖：

   • 根据我国刑事诉讼法的规定，刑事案件由公安机关管辖。诈骗罪作为刑事犯罪的一种，自然也应由公安机关负责侦查、起诉等程序。因此，如果发生此类案件，应向公安机关报案，由公安机关依法处理。

法律建议：

• 对于行为人：如果已经实施了此类行为，应立即停止并主动向公安机关投案自首，争取从宽处理。同时，应积极配合公安机关的调查工作，如实供述自己的罪行。
• 对于抵押权人：如果发现自己成为了此类诈骗行为的被害人，应立即向公安机关报案，并提供相关证据材料。同时，可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径。

后续行动：

• 如果你或他人遇到了此类情况，建议直接向我咨询具体的法律问题和应对策略。作为专业律师，我将根据具体情况提供详细的法律分析和建议。