在高速公路上撞死狗后逃逸，交警是会管的，并且逃逸者需要承担相应的法律责任。以下是对此问题的详细分析：
一、交警的介入与职责
交警的职责包括处理交通事故、调查事故原因以及划分事故责任。在高速公路上撞死狗，无论狗是否有主人，只要构成交通事故且驾驶员逃逸，交警都会介入调查，追查逃逸者，并根据调查结果作出相应处理。
二、法律责任的承担
行政责任：
- 根据《道路交通安全法》第九十九条，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，并可并处十五日以下拘留。这意味着，即使撞死的是狗，只要构成交通事故并逃逸，驾驶员就需承担行政责任。
民事责任：
- 如果撞死的狗有主人，那么狗在法律上属于主人的财产。此时，撞死狗的行为构成交通事故，逃逸者需承担全部责任，并赔偿狗主人的经济损失，包括狗的价值、可能的医疗费用（如果狗在事故中受伤后死亡前产生了医疗费用）等。
刑事责任（极端情况）：
- 虽然撞死狗本身通常不构成刑法意义上的犯罪行为，但如果逃逸行为导致严重后果，如因逃逸导致狗的主人或其他人员受伤或死亡，驾驶员可能构成交通肇事罪。根据《刑法》第一百三十三条，交通运输肇事后逃逸的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。
三、不同情况下的处理
狗未办理养犬证等相关手续：
- 若狗没有办理养犬证或未按规定饲养（如未束犬链、未打疫苗等），在法律上可能被视为流浪动物或饲养人存在过错。此时，虽然交警可能不会将此事严格作为交通事故处理，但逃逸行为本身仍可能面临行政责任。同时，狗主人也可能因未尽到管理责任而承担一定责任。
狗有合法手续且饲养人无过错：
- 若狗有主人且办理了养犬证等相关合法手续，对狗的饲养也符合规定，那么狗在法律上属于主人的财产。此时，撞死狗的行为构成交通事故，逃逸者需承担全部责任，并赔偿狗主人的经济损失。
四、应对措施与建议
立即停车并保护现场：无论事故大小，驾驶人都应立即停车，并采取措施保护现场，防止二次事故发生。
报告交警并接受调查：驾驶人应立即报警，等待交警到场处理，并如实陈述事故经过，提供相关证据。
与狗主人协商赔偿事宜：如事故造成宠物狗死亡，驾驶人应与狗主人积极协商赔偿事宜。若无法达成一致，可寻求法律援助或通过诉讼途径解决。
五、特殊情况考虑
- 如果被撞的狗是流浪狗，虽然驾驶员的逃逸行为不构成肇事逃逸（在针对狗的财产损失意义上），但若驾驶行为本身存在违法或过失（如超速驾驶、酒后驾驶等），仍可能面临相应的法律责任。
- 如果被撞的狗是有主的，但狗主人未对狗进行有效看管（如未使用牵引绳等），交警在立案调查时会综合考虑这一因素来划分责任。但无论如何，逃逸行为本身都是违法的，需要承担相应责任。
总结来说，在高速公路上撞死狗后逃逸是违法行为，交警会依法进行处理。驾驶员在遇到此类情况时，应立即停车、保护现场、报警并接受调查，同时与狗主人协商赔偿事宜。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。