结论前置：事业编试用期员工患抑郁症，单位一般不能随意开除，但具体是否会被开除需根据员工的病情、医疗期情况、工作表现以及单位内部规定等多方面因素综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、通常不会被开除的情形
医疗期内的保护：
- 根据《事业单位人事管理条例》及相关劳动法规，事业单位工作人员患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，单位不得解除聘用合同。抑郁症属于精神类疾病，患病员工应享有相应的医疗期，医疗期的长度根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限而有所不同，最长可达24个月。在此期间，单位不能随意辞退该员工，这是法律对患病员工的明确保护措施。
病情不影响工作：
- 若员工虽患有抑郁症，但能正常履行工作职责，完成工作任务，且未对单位正常运转造成不良影响，则单位无合理理由将其开除。依据《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国劳动合同法》及事业单位相关人事管理规定，单位解除人事关系需有法定理由和依据，不能仅因员工患病而辞退。
特定保护情形：
- 除了上述情形外，法律还规定了其他几种情形下，用人单位不得解除劳动合同，这些情形同样适用于事业单位员工。例如，从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查或疑似职业病病人在诊断、医学观察期间；在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力等。虽然这些情形与抑郁症不直接相关，但体现了法律对员工权益的广泛保护。
二、可能被开除的特殊情形
尽管抑郁症患者通常享有医疗期内的保护，但在以下特殊情形下，单位可能有权解除聘用合同：
医疗期满不能从事原工作和另行安排的工作：
- 如果事业编人员患抑郁症，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由单位另行安排的工作，且单位提前30日书面通知或额外支付一个月工资并支付经济补偿金后，可以解除聘用合同。但单位需提供充分证据证明员工确实无法胜任工作。
严重违反单位规章制度：
- 如果员工因抑郁症出现严重违反单位规章制度的行为，如经常无故旷工、严重影响工作秩序等，且单位的规章制度已经过合法程序制定并公示，那么单位有权依据规章制度解除与该员工的人事关系。但这种情况较为特殊，且需要单位提供充分证据证明员工的行为与抑郁症直接相关且达到了严重违反规章制度的程度。
三、员工权益保障与建议
了解自身权益：
- 事业编试用期员工如果患上抑郁症，应首先了解自身权益，包括医疗期的长度、单位不得随意解除聘用合同的规定等。
积极与单位沟通：
- 员工应积极与单位沟通，说明自己的病情和需要医疗的情况，争取合理的医疗期和必要的支持。同时，也可以向单位提出调整工作岗位或减轻工作负担等合理要求。
寻求法律帮助：
- 如果员工认为单位的行为侵犯了自己的合法权益，可以寻求法律帮助。例如，向人事争议调解组织申请调解或向人事争议仲裁委员会申请仲裁等。在必要时，员工还可以考虑向法院提起诉讼以维护自己的权益。
关注心理健康：
- 除了法律途径外，员工还应关注自己的心理健康状况，积极寻求专业心理咨询或治疗帮助。同时，也可以与家人、朋友或同事分享自己的感受和困扰，以获得更多的支持和理解。
综合建议：事业编试用期员工患抑郁症并不意味着一定会被开除。单位在处理此类情况时，应遵循相关法律法规和政策规定，给予员工必要的关心和支持，并在合法合规的前提下进行处理。同时，员工也应了解自己的权益和可能的法律风险，以便在必要时采取适当的措施来保护自己。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。