结论：员工代理出庭但未能提供劳动关系证明时，当庭供述的有效性需分情况讨论，其证明力可能受到限制，但并非完全无效。
分析说明：
劳动关系证明的重要性：
- 在劳动工伤（劳动仲裁）案件中，劳动关系证明是核心证据之一，它直接关系到员工是否具备提起劳动仲裁的主体资格，以及后续工伤赔偿等权益的主张。
- 常见的劳动关系证明包括劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等。
当庭供述的证明力：
- 当庭供述，即当事人在法庭上的陈述，是证据的一种形式。然而，其证明力通常较弱，因为陈述可能受到当事人主观意愿、记忆偏差等因素的影响。
- 在缺乏其他客观证据支持的情况下，仅凭当庭供述往往难以单独证明劳动关系的存在。
未提供劳动关系证明时的处理：
- 如果员工代理出庭时未能提供劳动关系证明，但当庭进行了供述，仲裁庭或法院会结合其他证据（如工作证、考勤记录、同事证言等）来综合判断劳动关系的存在与否。
- 若当庭供述与其他证据相互印证，形成完整的证据链，则可能被采纳作为认定劳动关系的依据之一。
- 若当庭供述缺乏其他证据支持，且对方提出合理质疑，则仲裁庭或法院可能不予采纳。
法律建议：
- 对于员工而言，在提起劳动仲裁前，应尽可能收集并保存好劳动关系证明，以确保自身权益得到充分保障。
- 若确实无法提供劳动关系证明，应积极寻找其他证据来支持自己的主张，如寻求同事的证言、调取工作期间的监控录像等。
- 在代理出庭时，应如实陈述事实，避免夸大或虚构情节，以免对案件处理产生不利影响。
行动建议：
- 如果你或你身边的人遇到了类似情况，建议尽快咨询专业律师，以便更准确地评估案件情况，制定合适的诉讼策略。
- 在准备代理出庭时，务必确保所有相关证据都已收集齐全，并按照法律程序进行提交和陈述。
特殊场景：
- 在某些特殊情况下，如员工与用人单位之间未签订书面劳动合同，但存在事实劳动关系时，员工可以通过提供其他证据（如工资支付记录、工作安排记录等）来证明劳动关系的存在。此时，当庭供述可以作为辅助证据之一，但需与其他证据相互印证。
法律依据：
- 虽然具体法律依据可能因地区和案件类型而异，但一般来说，劳动仲裁和诉讼都遵循“谁主张、谁举证”的原则。即主张劳动关系存在的一方需承担举证责任，提供充分证据证明劳动关系的存在。
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