结论：儿子病故后未分割的遗产，母亲的继承权在一般情况下不能直接转给他人，但在特定条件下可以通过遗嘱或法定继承的调整实现类似效果。以下是对这一问题的详细分析：
一、继承权的基本性质
继承权是法律赋予公民的一项基本权利，它指的是公民依法承受死者遗产的权利。在儿子病故后，其遗产应首先按照法定继承或遗嘱继承的方式进行分割。母亲作为法定继承人之一，享有继承儿子遗产的权利。这种权利是专属于母亲的，原则上不能直接转让给他人。
二、继承权转让的例外情况
遗嘱继承：
- 如果母亲在生前通过遗嘱的方式，明确表示将其应继承的遗产份额转让给其他人（如其他子女、亲属或朋友），那么这是被允许的。遗嘱是公民生前对其财产所作的处分行为，只要遗嘱符合法律规定的形式和实质要件，就具有法律效力。
放弃继承与接受赠与：
- 母亲可以选择放弃对儿子遗产的继承权，这样她的份额将按照法定继承的顺序由其他继承人继承。如果其他继承人（如父亲的另一子女或父母等）愿意将其继承的份额赠与给母亲指定的人，那么这也是一种间接实现继承权“转让”的方式。但需要注意的是，这种转让实际上是通过放弃继承和接受赠与两个法律行为完成的，并非直接转让继承权。
法定继承的调整：
- 在某些特殊情况下，如母亲因年老体弱、无劳动能力且无生活来源等，需要依赖其他子女赡养时，其他子女可能会与母亲协商，由母亲放弃部分或全部继承权，以换取其他子女在赡养方面的更多承诺。这种情况下，虽然继承权没有直接转让，但通过协商达成了类似的效果。不过，这种协商应当基于自愿、公平和合法的原则进行。
三、法律建议
明确遗嘱意愿：
- 如果母亲希望将其应继承的遗产份额转让给特定的人，建议她通过遗嘱的方式明确表达这一意愿。遗嘱应当符合法律规定的形式和实质要件，以确保其法律效力。
谨慎处理放弃继承：
- 放弃继承是一项严肃的法律行为，一旦放弃就难以恢复。因此，母亲在决定放弃继承权前应当充分考虑自身的经济状况、生活需求以及与其他继承人的关系等因素。
寻求专业法律帮助：
- 在处理遗产继承问题时，涉及的法律关系和程序可能较为复杂。因此，建议母亲或相关继承人寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到妥善保护。
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