结论：您可以报警，但报警后能否达到您期望的处理结果，需结合具体情况判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、报警的可行性
- 报警本身无限制：报警是公民的权利，无论是否存在合同关系，只要您认为发生了可能涉及违法或侵权的行为，都可以向公安机关报案。在您描述的情况中，护工喂饭导致病人呛着，若您认为护工存在故意或重大过失，甚至可能涉嫌虐待被看护人等违法犯罪行为，报警是合理的选择。
- 公安机关的处理范围：公安机关主要处理违反治安管理或刑事犯罪的行为。如果病人呛饭仅造成轻微伤害，可能不构成治安案件或刑事案件，公安机关可能会建议通过民事途径解决，如协商、调解或诉讼。但如果护工的行为存在故意或重大过失，且造成了较严重的后果，公安机关可能会立案调查。
二、民事赔偿的可能性
- 合同关系并非唯一依据：虽然您与护工之间没有签订书面合同，但根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，双方之间可能构成事实上的服务合同关系。即使没有书面合同，护工在提供服务过程中仍应尽到合理的注意义务，确保病人的人身安全。
- 侵权责任的承担：如果护工在喂饭过程中存在过错（如疏忽大意、操作不当等），导致病人呛饭并造成损害，护工可能构成侵权，需要承担相应的民事赔偿责任。您可以根据《民法典》中关于侵权责任的规定，要求护工赔偿医疗费、护理费、营养费等合理费用。
三、建议采取的措施
- 收集证据：
- 现场证据：如拍照、录像等，记录病人呛饭后的状态及现场情况。
- 证人证言：如果有其他人在场，可以请他们出具证人证言，证明护工的行为及病人的损害情况。
- 医疗记录：及时带病人就医，并保存好医疗记录、诊断证明等文件，作为证明损害后果的证据。
- 与护工协商：在收集到一定证据后，可以尝试与护工协商解决赔偿问题。如果护工愿意承担责任并赔偿损失，可以签订书面协议，明确赔偿金额及支付方式等。
- 报警或起诉：
- 报警：如果认为护工的行为可能涉嫌违法犯罪，或者协商无果，可以向公安机关报案。
- 起诉：如果协商不成，且您认为护工的行为构成侵权，可以向法院提起民事诉讼，要求护工承担赔偿责任。
四、注意事项
- 及时处理：病人呛饭后，应及时就医并采取措施防止损害扩大。同时，尽快收集证据并采取相应措施，以免因时间拖延导致证据灭失或难以收集。
- 理性维权：在处理此类纠纷时，应保持理性，避免采取过激行为。通过合法途径维护自己的权益，是更为有效和安全的方式。
如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细的法律建议和指导。