面对孩子或老人在被照顾过程中受伤，而照顾方推卸责任的情况，您可以通过收集证据、明确责任主体、协商或诉讼等途径来维护自身权益。以下是具体分析和建议：

1. 收集并固定证据：

   • 医疗记录：确保保存所有与受伤相关的医疗文件，包括诊断书、治疗记录、费用清单等，这些是证明伤害事实和程度的关键证据。
   • 现场证据：如果可能，拍摄现场照片或视频，记录受伤时的环境、设施状况等，有助于还原事故现场。
   • 证人证言：寻找目击者或了解情况的人，获取他们的书面或录音证言，以支持您的主张。
   • 沟通记录：保存与照顾方之间的所有沟通记录，包括短信、微信、邮件等，特别是那些涉及责任推卸的对话。

2. 明确责任主体：

   • 分析责任类型：根据伤害发生的原因，判断是过失责任、故意责任还是合同责任（如存在雇佣或服务合同）。
   • 确定责任人：明确是谁应该对伤害负责，是直接照顾者、监护人还是其他相关方。
   • 考虑连带责任：在某些情况下，如雇佣关系中，雇主也可能需要承担连带责任。

3. 尝试协商解决：

   • 提出合理诉求：基于收集的证据和明确的责任主体，向照顾方提出合理的赔偿或道歉要求。
   • 保持冷静理性：在协商过程中，保持冷静和理性，避免情绪化导致协商破裂。
   • 记录协商过程：如果可能，记录协商的过程和结果，以备后续需要。

4. 考虑法律途径：

   • 咨询法律意见：在协商无果或对方态度强硬时，及时咨询法律专业人士，了解您的法律权益和可能的诉讼途径。
   • 准备诉讼材料：根据法律意见，准备诉讼所需的材料，包括起诉状、证据清单等。
   • 提起诉讼：在必要时，向法院提起诉讼，通过法律手段维护自身权益。

5. 注意时效问题：

   • 了解诉讼时效：根据相关法律规定，注意诉讼时效的限制，确保在有效期内提起诉讼。
   • 及时采取行动：不要拖延时间，及时采取行动以保护您的权益。

在处理此类问题时，保持冷静、理性，并依据法律和事实来维护自身权益至关重要。如果您需要进一步的法律帮助或咨询，请随时向我提问，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。