在以下情况下，当事人可以申请再审：
一、民事诉讼中的再审申请情形
有新的证据：
- 新的证据必须是在原审庭审结束后新发现的，或是之前存在但因客观原因无法在原审中提交，又或是已在原审提供但法院未组织质证的关键证据。这些证据对案件事实认定具有重大影响，能够改变原判决、裁定的结果。例如，在借贷纠纷中，原审时未找到的关键转账记录，在再审申请时被发现并提交，可能足以推翻原判决。
原判决、裁定认定的基本事实存在问题：
- 缺乏证据证明：原判决、裁定所认定的基本事实若缺乏足够证据支持，即支撑裁判结果的关键事实没有充分证据，则构成再审理由。如合同纠纷中，原审认定双方存在合同关系，但再审申请时发现关键合同条款系伪造，缺乏真实证据支持。
- 主要证据伪造：若据以作出裁判的主要证据是伪造的，严重违背诉讼真实性原则，裁判结果必然错误，应予再审纠正。例如，伪造的签名或印章在原审中被作为关键证据使用。
- 主要证据未经质证：质证是查明证据真实性的重要程序，主要证据未经质证，其证明力无法确认，可能导致错误认定事实，影响裁判公正。
- 证据未调查收集：对于审理案件所需的主要证据，若当事人因客观原因不能自行收集并已书面申请法院调查收集，而法院未予调查，同样构成再审理由。
原判决、裁定适用法律确有错误：
- 包括适用的法律与案件性质不符、违反法律强制性规定、错误解释或引用法律条文等情形，导致判决结果不符合法律规定，损害当事人合法权益。例如，将合同纠纷错误适用侵权责任法进行裁判。
审判程序违法：
- 审判组织不合法：如合议庭成员不具备法定资格等，影响审判公正性。
- 应回避未回避：依法应回避的审判人员未回避，可能影响裁判结果的公正性。
- 剥夺辩论权利：违反法律规定剥夺当事人的辩论权利，影响案件事实的查明和公正裁判。
- 缺席判决：未经传票传唤即缺席判决，损害当事人合法权益。
- 无诉讼行为能力人问题：无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼，或应当参加诉讼的当事人因不可归责于自身或其诉讼代理人的原因未参加诉讼，导致其未能充分行使权利，裁判可能不公平。
- 遗漏或超出诉讼请求：原判决、裁定遗漏或超出诉讼请求，即法院未在当事人诉讼请求范围内进行审理和裁判，侵犯了当事人的处分权或使部分权利未得到处理。
审判人员违法行为：
- 审判人员在审理案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等违法犯罪行为，严重损害司法公正和当事人合法权益，应通过再审程序予以纠正。
二、刑事诉讼中的再审申请情形
有新证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误：
- 新证据可能影响定罪量刑，如发现新的物证、书证或证人证言，能够证明原审认定的事实存在错误。
证据问题：
- 定罪量刑的证据不确实、不充分、应排除：如原审依据的证据存在瑕疵或不足，再审申请时发现新的证据或证据规则变化，导致原证据应被排除。
- 证明案件事实的主要证据之间存在矛盾：如多个证据之间存在无法合理解释的矛盾，影响案件事实的认定。
严重违反法律程序：
- 违反法律规定的诉讼程序：如未依法保障被告人的辩护权、未依法进行证据质证等，可能影响公正审判。
- 审判人员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为：与民事诉讼中的情形类似，严重损害司法公正。
三、行政诉讼中的再审申请情形
不予立案或驳回起诉确有错误：
- 如原审法院错误地不予立案或驳回起诉，再审申请时发现符合立案条件或起诉条件。
有新的证据：
- 与民事诉讼中的情形类似，新的证据足以推翻原判决、裁定。
原证据问题：
- 原判决、裁定认定事实的主要证据不足、未经质证或系伪造：与民事诉讼中的情形类似，影响案件事实的认定。
- 原判决、裁定适用法律、法规确有错误：如错误适用法律条款或解释法律条文，导致判决结果不符合法律规定。
审判程序违法：
- 违反法律规定的诉讼程序：如未依法保障当事人的诉讼权利、未依法进行证据质证等，可能影响公正审判。
- 原判决、裁定遗漏诉讼请求：与民事诉讼中的情形类似，侵犯了当事人的处分权。
审判人员违法行为：
- 与民事诉讼和刑事诉讼中的情形类似，审判人员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为。
申请再审的程序与材料：
- 在申请再审时，当事人需按照法律规定的程序提交相关申请材料，包括但不限于再审申请书、新证据材料、原判决裁定书等。法院将对申请材料进行审查，若符合再审条件，将重新审理案件。
时间限制：
- 当事人应在判决、裁定发生法律效力后一定期限内提出再审申请（一般为六个月，但发现新证据等特殊情形下可能有不同规定）。具体期限需根据案件类型和法律规定确定。
总结与建议：
申请再审是当事人维护自身合法权益的重要途径，但需满足一定的法定条件。在申请再审前，当事人应仔细审查原审判决、裁定，收集并整理相关证据材料，确保符合再审申请的条件。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。