被留置人供出行贿人后，监察机关通常会立即或尽快展开调查，但具体是否立即行动会受多种因素影响。以下从不同角度为你详细分析：
一、监察机关的调查程序与留置措施
根据《中华人民共和国监察法》的相关规定，监察机关在调查职务违法和职务犯罪时，有权采取留置措施。留置措施是对涉嫌严重职务违法或职务犯罪的被调查人采取的限制人身自由的强制措施，旨在确保调查工作的顺利进行。当被留置人供出行贿人时，这通常意味着调查工作取得了重要进展，监察机关会基于这一线索，进一步深入调查以核实情况、固定证据。
二、立即展开调查的可能性
线索的重要性：如果被留置人供出的行贿人线索对于案件的侦破具有关键作用，比如行贿人是案件的关键证人或涉案金额巨大，那么监察机关很可能会立即展开调查，以防止证据灭失或证人逃匿。
调查的紧迫性：在某些情况下，调查工作可能面临时间紧迫的压力，比如行贿人可能正在准备逃匿或销毁证据。在这种情况下，监察机关会迅速行动，以确保调查工作的顺利进行。
三、可能不立即展开调查的情况
线索的核实：虽然被留置人供出了行贿人，但监察机关可能还需要对这一线索进行进一步的核实和确认。比如，通过询问其他证人、调取相关证据等方式，以确保线索的真实性和可靠性。
调查资源的分配：监察机关在调查过程中可能面临资源有限的问题，比如人力、物力等。在这种情况下，监察机关可能会根据案件的紧急程度和重要性，合理安排调查资源的分配，因此可能不会立即对所有供出的行贿人展开调查。
策略考虑：在某些情况下，监察机关可能会出于调查策略的考虑，选择暂时不展开对行贿人的调查。比如，为了不打草惊蛇，以便更好地收集其他证据或追踪其他涉案人员。
四、法律建议与后续行动
配合调查：如果你或你身边的人涉及此类情况，建议积极配合监察机关的调查工作，如实提供相关信息和证据。
保护合法权益：在配合调查的同时，也要注意保护自己的合法权益。比如，可以要求监察机关依法进行调查，确保调查程序的合法性和公正性。
寻求法律帮助：如果你对调查程序或相关法律问题存在疑问或担忧，可以及时向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总结来说，被留置人供出行贿人后，监察机关通常会根据线索的重要性、调查的紧迫性以及调查资源的分配等因素来决定是否立即展开调查。无论何种情况，都建议积极配合调查工作，并在必要时寻求专业的法律帮助。如果你有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。