结论：在此情况下，家长是否需要赔偿及负何种责任，主要取决于纹身店的行为是否构成侵权，以及家长是否存在过错。若纹身店的行为构成侵权，且家长无过错，则主要由纹身店承担责任；若家长存在过错，如未尽到监护职责，则可能需承担部分责任。以下是对此问题的详细分析：
一、纹身店的责任
侵权责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，纹身店若未经家长同意，擅自为未成年人提供纹身服务，可能构成对未成年人身体权的侵害。因为未成年人的身体权受法律保护，任何组织或个人不得非法侵害。
- 纹身店作为服务提供者，有义务核实服务对象的年龄和身份，确保服务行为的合法性。若因未尽到核实义务而导致未成年人受损，纹身店应承担相应的侵权责任。
责任承担方式：
- 纹身店可能需要承担停止侵害、消除影响、赔礼道歉、赔偿损失等民事责任。赔偿损失的范围可能包括医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因纹身导致的精神损害赔偿等。
二、家长的责任
监护职责：
- 家长作为未成年人的监护人，有义务保护未成年人的身体健康和合法权益。若家长未尽到监护职责，如未及时发现并制止未成年人纹身的行为，可能需承担一定的责任。
- 但需要注意的是，家长的责任是次要的，主要责任仍在于纹身店。因为纹身店作为专业服务提供者，应具备更高的注意义务和法律意识。
责任承担方式：
- 若家长存在过错，如未尽到监护职责，可能需承担部分赔偿责任。但具体责任比例需根据案件具体情况和法院判决来确定。
三、特殊情况考虑
- 若未成年人通过欺骗等手段使纹身店误以为其已成年，从而提供了纹身服务，这种情况下纹身店的责任可能会相对减轻。但纹身店仍需承担一定的核实义务，若未尽到该义务，仍需承担相应责任。
- 若家长对未成年人纹身的行为表示同意或默许，则可能构成对未成年人身体权的放弃或处分。但这种情况在法律上较为复杂，且通常不被鼓励或支持。
四、建议与措施
家长角度：
- 家长应加强对未成年人的监护和教育，引导其树立正确的审美观和价值观，避免盲目追求时尚而纹身。
- 若发现未成年人有纹身的行为，应及时制止并了解情况，必要时可寻求法律帮助。
纹身店角度：
- 纹身店应严格遵守法律法规，核实服务对象的年龄和身份，确保服务行为的合法性。
- 若发现未成年人前来纹身，应拒绝提供服务并告知其家长或相关部门。
法律途径：
- 若发生纠纷，家长可与纹身店协商解决；协商不成的，可向人民法院提起诉讼，要求纹身店承担相应的法律责任。
五、后续行动建议
- 若您作为家长遇到此类情况，建议首先收集相关证据，如纹身店的服务记录、未成年人的陈述、医疗证明等。
- 然后，与纹身店进行协商，要求其承担相应的责任。若协商不成，可及时咨询专业律师（即我本人，李冕桦律师，专注于刑事辩护、经济纠纷、婚姻家庭、侵权纠纷等领域），了解具体的法律途径和维权策略。
希望以上分析能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。