成年子女在特定情况下确实可以起诉父亲未履行抚养义务，同时若父亲在子女未成年时未履行抚养义务，成年后也有权提起诉讼要求支付抚养费。以下是对此问题的详细分析：

一、一般情况下的法律规定

1. 抚养义务的期限：
   • 根据我国法律，父母对未成年子女（即18岁以下）负有抚养教育的义务。当子女成年后，法律推定其具备独立生活和自我照顾的能力，因此父母在大多数情况下不再负有法定的抚养义务。例如，一个健康的成年大学生，其父亲停止支付生活费用，该子女在法律上通常不能起诉要求父亲继续履行抚养义务。

二、特殊情况下的起诉权利

1. 子女无法独立生活：

   • 如果成年子女因严重残疾、重大疾病等丧失劳动能力，或者仍在接受高中及其以下学历教育等，无法独立生活，父母仍有抚养义务。在此情况下，若父亲不履行抚养义务，子女可以通过法律途径要求父亲支付必要的生活费用和相关费用。

2. 存在抚养协议或约定：

   • 若父母与子女之间，或父母双方之间，在子女成年前通过合法有效的协议约定了父亲在子女成年后仍需继续履行抚养义务，而父亲违反了该约定，子女可以依据协议向法院起诉要求父亲履行约定的抚养义务。

三、成年后起诉未成年期间抚养费的法律规定

1. 诉讼权利：

   • 如果父亲在子女未成年时未履行抚养义务，子女成年后有权提起诉讼，要求父亲支付未成年期间应当支付的抚养费。

2. 诉讼时效：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，请求支付抚养费不适用诉讼时效的规定。这意味着，无论子女何时发现父母未履行抚养义务，都可以向法院提起诉讼，要求支付拖欠的抚养费。但需注意，若涉及其他与抚养相关的权益（如财产分割），可能受到诉讼时效的约束，具体需根据案件情况判断。

3. 证据准备：

   • 提起诉讼时，子女需要准备充分的证据来证明父亲确实没有履行抚养义务。这些证据可能包括生活费、教育费支出记录，父亲收入状况，以及是否提供过经济支持等相关证据。法院会根据子女的实际需要、父母的负担能力和当地的实际生活水平等因素，综合确定抚养费的数额。

四、建议与注意事项

1. 家庭关系处理：

   • 家庭关系复杂，起诉前应优先考虑通过沟通、协商或第三方调解等方式解决问题。这有助于维护家庭关系的和谐稳定，并可能更快速地解决问题。

2. 法律程序了解：

   • 若决定起诉，应确保了解相关法律法规，并准备充分的证据以支持自己的主张。可以寻求专业法律人士的帮助，以确保诉讼程序的顺利进行。

3. 诉讼时效注意：

   • 虽然抚养费请求权不受诉讼时效限制，但若涉及其他与抚养相关的权益，需注意诉讼时效的规定，及时行使自己的权利。

举例说明：

• 假设小明在成年后发现父亲在其未成年期间未支付抚养费，小明可以收集相关证据（如生活费、教育费支出记录等），并向法院提起诉讼，要求父亲支付拖欠的抚养费。由于抚养费请求权不受诉讼时效限制，小明可以在任何时候提起诉讼。

• 又如，小红因严重残疾无法独立生活，其父亲拒绝支付必要的生活费用。小红可以通过法律途径要求父亲履行抚养义务，支付相关费用。

综上所述，成年子女在特定情况下有权起诉父亲未履行抚养义务，同时在未成年期间若父亲未履行抚养义务，成年后也有权提起诉讼要求支付抚养费。但需注意相关法律规定和证据准备，以确保诉讼的顺利进行。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。