结论：顾客在您店里按摩时晕倒，您是否有责任需视具体情况而定，主要取决于您是否尽到了安全保障义务以及晕倒的原因。以下从不同角度为您详细分析：
一、若您未尽到安全保障义务
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条：“宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任”。
具体情形：
- 如果您的按摩店内环境不佳，如空气不流通、温度过高或过低、按摩床存在安全隐患等，且这些因素与顾客晕倒有直接关系，那么您可能因未尽到安全保障义务而需承担相应责任。
- 如果您的按摩师在操作过程中存在过错，如按摩手法过重、按摩部位不当等，导致顾客晕倒，那么您作为按摩师的经营者或管理者，也可能需承担相应责任。
责任承担：
- 在这种情况下，您可能需要承担医疗费、误工费、护理费等因顾客晕倒而产生的合理费用。具体赔偿项目及计算方式可参照面馆摔跤致骨折赔偿中的相关部分，根据实际情况进行主张。
二、若您已尽到安全保障义务
具体情形：
- 如果您的按摩店内环境良好，按摩师操作规范，且顾客晕倒的原因与店内环境或按摩师操作无关，如顾客自身患有某种疾病（如低血糖、高血压等）或因其他外部因素导致晕倒，那么您可能无需承担责任。
注意事项：
- 即使您已尽到安全保障义务，也建议您在顾客晕倒后及时提供必要的救助，如拨打急救电话、协助顾客就医等。这不仅体现了您的人文关怀，也有助于避免不必要的纠纷。
三、建议措施
收集证据：
- 如果发生顾客晕倒的情况，建议您及时拍摄现场照片、视频，记录店内环境、按摩师操作情况等，以备后续可能的纠纷处理。
- 同时，保存好顾客的医疗记录、诊断证明等相关资料，以便在需要时提供证明。
协商与法律途径：
- 如果顾客或其家属认为您需承担责任，并要求赔偿，建议您先尝试与对方协商解决。在协商过程中，明确您的立场和依据，出示相关证据，说明赔偿的合理性和必要性。
- 如果协商不成，您可以通过法律途径解决纠纷。向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，提交起诉状和相关证据。在必要时，您可以聘请专业律师提供法律帮助，以维护您的合法权益。
最后，作为按摩店的经营者或管理者，您应当始终关注店内环境和按摩师的操作规范，确保顾客的安全和健康。如果遇到类似纠纷或疑问，欢迎直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。