当居民遇到电梯事故时，可以按照以下步骤来寻求解决：

一、立即停止使用并报告

首先，一旦发现电梯存在故障或事故，应立即停止使用电梯，并尽快通过电梯内的紧急呼叫按钮或其他方式联系物业或相关管理部门，报告电梯的故障情况。这是确保自身安全和其他居民安全的重要步骤。

二、联系维保单位进行维修

物业或相关管理部门在接到报告后，应迅速联系电梯的维保单位。维保单位是负责电梯日常维护和保养的专业机构，他们具备专业的技术和设备，能够迅速定位并修复电梯故障。在维修过程中，维保单位会遵循相关的安全规范和操作流程，确保维修工作的质量和安全。

三、关于维修资金

关于维修资金的问题，通常由电梯的使用单位（如物业）负责支付。如果电梯故障需要动用维修基金，物业应按照相关规定，及时联系住户在启用维修基金相关手续上签字，以确保维修工作的顺利进行。

四、寻求政府部门的帮助

如果物业或维保单位未能及时响应或解决问题，居民可以拨打“12345”政务服务便民热线或其他相关政府部门的投诉电话，反映电梯故障问题并寻求帮助。政府部门会协调相关部门和单位，加快处理进度，确保电梯尽快恢复正常运行。例如，在碧水绿洲小区的案例中，“12345”热线就快速协调了相关部门，帮助居民解决了电梯故障问题。

五、关注维修进度和结果

在电梯维修过程中，居民可以关注维修进度和结果，及时了解电梯的修复情况。如果维修时间过长或维修效果不佳，居民可以向物业或相关部门提出意见和建议，促使他们采取更加有效的措施来解决问题。

六、了解电梯安全知识

此外，居民还可以通过学习电梯安全知识，提高自身的安全意识和应急处理能力。例如，了解电梯的正确使用方法、紧急情况下的自救措施等，以便在遇到电梯故障时能够迅速应对并保障自身安全。

综上所述，当居民遇到电梯事故时，应立即停止使用并报告、联系维保单位进行维修、关注维修资金问题、寻求政府部门的帮助、关注维修进度和结果以及了解电梯安全知识。这些步骤将有助于居民有效应对电梯故障问题并保障自身安全。