您好，关于您提出的“劳动合同签订以后可以开除吗”这一问题，我可以明确地告诉您，公司在与员工签订劳动合同后，并不能随意开除员工，而是必须依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定进行。以下是我为您详细梳理的几种情况：
一、合法解除且无需支付经济补偿
在以下特定情形下，公司有权依据法律解除劳动合同，且无需向劳动者支付经济补偿：
- 试用期不符合录用条件：如员工在试用期间被证明技能不达标、无法胜任工作等。
- 严重违反规章制度：员工严重违反了公司已经合法制定并向员工公示的规章制度。
- 严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成了重大损害。
- 双重劳动关系影响工作：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响，且经公司提出后拒不改正。
- 欺诈、胁迫订立合同：员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同。
- 被依法追究刑事责任：员工被依法追究刑事责任。
二、合法解除但需支付经济补偿
在以下情形下，公司虽有权解除劳动合同，但需提前三十日以书面形式通知员工，或额外支付一个月工资，并支付经济补偿：
- 患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事公司另行安排的工作。
- 不能胜任工作：员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任。
- 客观情况重大变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且经公司与员工协商未能就变更合同内容达成协议。
- 经济性裁员：公司因经济性原因需要裁员，如企业破产重整、生产经营发生严重困难等。
三、违法解除需支付赔偿金
如果公司违反法律规定解除劳动合同，如没有任何合法理由随意辞退员工，员工有权要求继续履行合同。若员工不要求继续履行或合同已无法继续履行，公司应依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
四、特别提醒
- 不得解除劳动合同的情形：包括从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查、疑似职业病病人在诊断或医学观察期间、在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力、患病或非因工负伤在规定的医疗期内、女职工在孕期产期哺乳期、在本单位连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年等。
- 开除程序要求：公司单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会，并遵守相关程序要求。
总结与建议：公司在与员工签订劳动合同后，应严格遵守相关法律法规，尊重员工权益。如需解除劳动合同，必须确保符合法定情形，并按照规定程序进行操作。同时，公司也应建立健全内部管理制度，确保劳动合同的合法性和有效性。作为员工，在面临被解雇的情况时，也应及时了解自己的权益，必要时可寻求法律援助或申请劳动仲裁。希望这些信息能对您有所帮助。