结论：您可以先不急于催促伤者，但需要采取一些措施来保障自己的权益，同时为后续可能的处理做好准备。以下从不同角度为您分析：

1. 从法律时效性的角度：

   • 一般来说，交通事故的诉讼时效为三年，自知道或者应当知道权利被侵害时起计算。所以，从时效方面来看，您目前还有比较充裕的时间来处理这个问题，不需要过于着急催促伤者。不过，为了避免未来可能出现的证据灭失等风险，建议您尽早收集和整理与事故相关的证据，如事故认定书、现场照片、医疗记录等。

2. 从保险理赔的角度：

   • 您的保险即将到期，虽然保险到期本身不影响已经发生的交通事故的理赔，但为了确保理赔流程的顺利进行，您可以主动与保险公司沟通，告知他们事故的情况以及伤者尚未提出解决的状态。保险公司可能会根据具体情况给您一些建议或指导，比如是否需要您先提交一些初步的理赔材料等。

3. 从与伤者沟通的角度：

   • 虽然不需要急于催促，但您可以尝试以合适的方式与伤者取得联系，了解他们的伤势恢复情况以及对于事故处理的打算。沟通时要注意语气和方式，表达出您愿意积极解决问题的态度，但同时也不要过于主动地提出赔偿等具体事宜，以免给伤者造成不必要的压力或误解。如果伤者表示需要时间来考虑或处理，您可以尊重他们的意愿，并告知他们您会在合理的时间内等待他们的回复。

4. 从预防潜在风险的角度：

   • 为了避免未来可能出现的纠纷或麻烦，您可以考虑咨询专业人士（也就是我啦，我在交通事故处理方面有丰富经验），制定一个应对策略。比如，如果伤者长时间不提出解决，您是否需要主动采取一些法律手段来推动事情的进展；或者，在赔偿方面，您应该如何准备和应对等。

建议：您可以先按照上述角度做好相应的准备和沟通工作，同时保持与伤者的联系和沟通渠道畅通。如果伤者在合理的时间内仍然没有提出解决或给出明确的答复，您可以考虑咨询我，根据具体情况制定进一步的应对策略。