如果劳动合同私下达成调解后一方不履行，另一方可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 明确调解协议的法律效力：

   • 私下调解若已形成书面协议，且双方签字确认，该协议在法律上具有一定的约束力。它代表了双方对争议事项的合意解决，一旦达成，双方应遵守执行。
   • 若调解协议未形成书面文件，或者虽然形成书面文件但缺乏必要的法律要素（如双方签字、调解机构盖章等），则其法律效力可能受到质疑。在这种情况下，建议尽快补全相关手续，或考虑通过其他法律途径解决争议。

2. 采取法律手段强制执行：

   • 申请劳动仲裁：如果调解协议具有法律效力但一方不履行，另一方可以向当地劳动仲裁委员会申请仲裁，要求对方履行调解协议或赔偿损失。劳动仲裁是解决劳动争议的一种快速、有效的途径，其裁决具有法律效力。
   • 提起诉讼：若劳动仲裁未能解决问题，或对方对仲裁裁决不服，另一方可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，法院将根据调解协议的内容、双方当事人的陈述和证据，以及相关法律法规，作出判决。如果判决支持了一方的诉求，对方仍不履行，可以申请法院强制执行。

3. 收集并保存证据：

   • 在采取法律手段之前，务必收集并保存好与调解协议相关的所有证据，包括调解协议本身、双方沟通记录、支付凭证等。这些证据将在后续的法律程序中发挥关键作用，有助于证明调解协议的存在和内容，以及对方的不履行行为。

4. 考虑调解协议的补充或修改：

   • 如果调解协议存在不明确或遗漏的条款，导致一方在履行过程中产生争议或困难，双方可以协商补充或修改调解协议。这有助于减少后续的法律纠纷，确保调解协议的顺利执行。

5. 寻求专业法律帮助：

   • 在处理此类纠纷时，建议寻求专业律师的帮助。律师可以提供法律咨询、协助收集证据、起草法律文件、代表当事人参加仲裁或诉讼等法律服务。他们的专业知识和经验将有助于更好地维护当事人的合法权益。

示例说明： 假设甲和乙因劳动合同纠纷私下达成调解协议，约定乙在一个月内支付甲一定的赔偿金。然而，到期后乙未履行支付义务。此时，甲可以首先收集调解协议、双方沟通记录等证据，然后向当地劳动仲裁委员会申请仲裁，要求乙履行调解协议并支付赔偿金。如果仲裁裁决支持了甲的诉求，但乙仍不履行，甲可以向人民法院申请强制执行。

后续行动建议：

• 在采取任何法律行动之前，务必确保调解协议具有法律效力，并收集好相关证据。
• 如果对调解协议的法律效力或后续法律程序有疑问，建议及时咨询专业律师。
• 在处理纠纷过程中，保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击对方。

如有任何进一步的问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。