核心结论：货车司机半路要求加运费的处理方式需根据具体情况判断，主要分为以下两种情形：

1. 若运输合同已明确约定运费金额及支付方式
   根据《民法典》第八百零九条，运输合同是承运人将旅客或货物从起运地点运输到约定地点，旅客、托运人或收货人支付票款或运输费用的合同。若合同中已明确约定运费金额、支付时间及方式（如“一口价”“到付”等），司机半路要求加运费属于单方变更合同，托运人有权拒绝。

   • 处理建议：
     
     • 要求司机继续履行原合同，按约定完成运输；
       
     • 若司机拒绝运输，可要求其承担违约责任（如赔偿因延误造成的损失）；
       
     • 保留合同、沟通记录等证据，必要时通过法律途径解决。

2. 若运输合同未明确约定运费或存在特殊情形

   • 情形一：合同未约定运费
     根据《民法典》第八百三十六条，托运人或收货人不支付运费、保管费或其他费用的，承运人对相应的运输货物享有留置权。但若合同未约定运费，司机需证明双方曾就运费达成一致（如口头约定、行业惯例等），否则可能被认定为“无偿运输”，无权要求加价。
     
   • 情形二：运输过程中出现合同未预见的额外费用
     如因道路封闭、货物超重等导致运输成本增加，司机可与托运人协商补充协议，合理分摊额外费用。但协商需基于公平原则，司机不得强行加价。
     
   • 处理建议：
     
     • 核查合同是否约定运费及调整机制；
       
     • 若司机主张额外费用，要求其提供证据（如路桥费发票、货物称重单等）；
       
     • 优先协商解决，协商不成可申请第三方调解或诉讼。

风险提示：若司机以“不加价就不运输”为由要挟，可能涉嫌《治安管理处罚法》中的“强迫交易”行为，托运人可向公安机关报案。

总结：处理此类纠纷的关键是固定证据、明确合同约定，并根据具体情况选择协商、调解或诉讼。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体细节。