结论：一般情况下，仅依据目前描述的情况不能直接申请执行，需要分不同情形来分析和处理。

1. 从调解协议的性质和执行依据角度

   • 调解协议本身并不直接具有强制执行力。如果双方是在法院主持下达成调解，法院会根据调解协议制作调解书，调解书经双方当事人签收后，即具有法律效力，和判决书具有同等的法律效力。此时，如果被告不履行调解书中确定的义务，原告可以以调解书为执行依据向法院申请强制执行。
   • 但如果是双方自行在人民调解委员会等非诉讼调解组织达成的调解协议，不具有直接强制执行力。在这种情况下，需要先向法院申请司法确认，经法院审查确认调解协议有效后，才具有强制执行力，原告才能依据确认有效的调解协议向法院申请执行。如果银行不配合办理存折继承相关业务，而调解协议中明确被告有配合义务，在调解协议具有强制执行力后，被告不履行，原告可申请执行。

2. 从银行拒绝办理业务的原因角度

   • 银行拒绝办理存折继承业务可能有其合理理由。例如，银行可能要求提供一系列合法有效的文件来确认继承关系和办理人的身份及权限，如果原告或被告无法提供完整、合规的文件，银行有权拒绝办理。在这种情况下，即使有调解协议，也不能直接归责于被告不履行义务，也就不能直接申请执行。需要先解决银行要求的文件问题，比如提供完整的继承公证书、法院判决书或调解书等能证明继承关系和办理权限的文件。
   • 如果银行无正当理由拒绝办理，且调解协议中明确被告有义务促使银行办理相关业务或者被告本身有直接办理的义务（比如被告就是存折的合法继承人且应配合原告进行相关操作），在调解协议具有强制执行力后，被告不履行该义务，原告可以向法院申请执行，要求被告履行相应义务，法院可以采取相应的执行措施，如罚款、拘留等，促使被告履行义务，进而推动银行办理业务。

3. 从原告办理的合理性角度

   • 如果银行要求原告办理存折继承业务，需要看具体的法律规定和业务要求。有些情况下，可能原告并不具备直接办理的法定条件，比如原告不是法定继承人或者没有得到其他继承人授权等。此时，不能因为银行要求原告办理而直接申请执行，需要先明确原告是否有办理的合法资格和权利。
   • 若原告具备办理的合法资格，而银行无理拒绝，原告可以先通过与银行协商、向银行监管部门投诉等方式解决。如果这些方式无法解决问题，且涉及到调解协议中相关义务的履行问题，在调解协议具有强制执行力后，可以根据具体情况看是否能将银行列为第三人等，通过法律途径解决，但一般不是直接对被告申请执行来强制要求银行办理业务。

如果遇到此类问题，你可以进一步向我详细描述调解协议的具体内容、银行拒绝办理的具体理由等情况，以便我更精准地为你分析和提供建议。