结论：一楼带花园吃火锅烧烤是否影响邻居并违法，需根据具体情况判断，但通常这种行为如果产生了噪音、油烟等影响邻居正常生活的情况，可能违法。以下是对此问题的详细分析：

一、花园的性质与使用权

1. 花园的归属：首先，需要明确一楼花园的归属。如果花园属于业主的专有部分，那么业主在花园内的活动原则上应享有较大的自由度。但如果花园属于公共区域或共有部分，那么业主的活动就需要受到一定的限制，不得损害其他业主的合法权益。

2. 相邻权与容忍义务：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。这意味着，即使花园属于业主的专有部分，业主在花园内的活动也不得超出合理范围，不得对邻居的正常生活造成影响。

二、吃火锅烧烤行为的违法性分析

1. 噪音污染：如果吃火锅烧烤时产生了较大的噪音，如大声喧哗、音乐播放等，且超出了社会一般容忍标准，那么这种行为就可能构成噪音污染，违反了《中华人民共和国环境噪声污染防治法》的相关规定。邻居有权要求停止侵害，并可能向相关部门投诉或提起诉讼。

2. 油烟污染：吃火锅烧烤时产生的油烟如果未经有效处理而直接排放到空气中，可能对邻居的居住环境造成污染。这种情况下，业主可能违反了《中华人民共和国大气污染防治法》的相关规定，邻居同样有权要求停止侵害。

3. 公共秩序与安全：如果吃火锅烧烤的行为导致了公共秩序的混乱或安全隐患，如占用公共通道、引发火灾等，那么这种行为还可能触犯《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，面临警告、罚款或拘留等治安处罚。

三、解决途径与建议

1. 友好协商：首先，建议业主与邻居进行友好协商，明确表达吃火锅烧烤行为可能对邻居造成的影响，并寻求双方都能接受的解决方案，如调整活动时间、采取降噪措施等。

2. 寻求调解：如果协商无果，可以向物业管理部门、居民委员会或村民委员会寻求帮助，进行调解。这些机构通常具有调解邻里纠纷的经验和权威，能够帮助双方达成和解。

3. 报警或起诉：如果调解无效，且业主的行为确实违法并给邻居造成了损害，邻居可以报警由公安机关处理；或直接向人民法院提起诉讼，要求业主停止侵害、排除妨碍、赔偿损失等。

法律依据：

• 《中华人民共和国民法典》第二百八十八条：不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。
• 《中华人民共和国环境噪声污染防治法》相关规定：禁止在居民住宅区等噪声敏感建筑物集中区域内从事产生环境噪声污染的夜间施工作业等活动。
• 《中华人民共和国大气污染防治法》相关规定：排放油烟的餐饮服务业经营者应当安装油烟净化设施并保持正常使用，或者采取其他油烟净化措施，使油烟达标排放，并防止对附近居民的正常生活环境造成污染。
• 《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十三条：有下列行为之一的，处警告或者二百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款：…（五）破坏依法进行的选举秩序的。（注：此处虽列举的是选举秩序，但该法条同样适用于其他扰乱公共秩序的行为，如因吃火锅烧烤导致的公共秩序混乱）

总结与建议：

一楼带花园吃火锅烧烤是否违法，需根据具体情况判断。如果行为产生了噪音、油烟等影响邻居正常生活的情况，且超出了社会一般容忍标准，那么这种行为就可能违法。建议业主在享受花园生活的同时，也要尊重邻居的合法权益，采取必要的措施减少对邻居的影响。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。