结论：因公出差住在外面租房，早上上班摔倒是否算工伤，需根据具体情况判断，若摔倒与工作有直接关联且符合工伤认定条件，则可能被认定为工伤；反之，则可能不被认定。以下从不同角度详细分析：
一、工伤认定的基本条件
根据《工伤保险条例》第十四条，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：
在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的：
- 若您在早上上班途中，因工作需要（如赶时间参加会议、取工作文件等）而摔倒，且摔倒地点在合理的工作路线范围内，可能被视为“因工作原因”受到事故伤害。
- 但若摔倒纯粹是由于个人疏忽（如走路看手机、未注意路面情况等），且与工作无直接关联，则可能不被认定为工伤。
工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的：
- 若您早上上班前，在租房内或租房附近进行与工作有关的预备性工作（如整理工作资料、准备工具等）时摔倒，可能被视为从事与工作有关的预备性工作受到事故伤害。
- 但若摔倒时并未从事与工作有关的活动，则可能不被认定为工伤。
二、出差期间的特殊情况
出差期间，职工的工作地点和时间可能相对灵活，但工伤认定的基本原则不变。关键在于判断摔倒是否与工作有直接关联：
若摔倒发生在前往工作地点的途中：
- 如因工作需要（如赶时间、取工作物品等）而摔倒，且摔倒地点在合理的工作路线范围内，可能被视为工伤。
- 但若摔倒发生在非工作路线或非工作时间（如提前出发去游玩途中），则可能不被认定为工伤。
若摔倒发生在工作场所内：
- 如在租房内（若租房被视为工作场所的一部分，如因工作需要临时居住）或租房附近的工作地点摔倒，且摔倒与工作有直接关联，可能被视为工伤。
- 但若摔倒发生在非工作场所或非工作时间，则可能不被认定为工伤。
三、实际案例与司法实践
在实际案例中，工伤认定的结果往往取决于具体事实和证据。司法实践通常关注以下几点：
摔倒与工作的关联性：
- 法院会审查摔倒是否发生在工作时间、工作场所内，以及是否因工作原因导致。
证据的充分性：
- 职工需要提供充分的证据证明摔倒与工作有直接关联，如工作记录、证人证言、医疗证明等。
用人单位的举证责任：
- 若用人单位认为摔倒不属于工伤，需承担举证责任，证明摔倒与工作无直接关联。
四、建议与行动
及时报告与就医：
- 若发生摔倒事故，应立即报告用人单位，并尽快就医治疗。保留好医疗记录和相关证据。
申请工伤认定：
- 在规定时间内（通常为事故发生后30日内）向用人单位所在地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
咨询专业律师：
- 若对工伤认定结果有异议，或需要更详细的法律建议，可直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。
最后，工伤认定是一个复杂的过程，涉及多个因素和证据。若您因公出差住在外面租房，早上上班摔倒，建议尽快收集相关证据，并咨询专业律师以获取更准确的法律意见。