结论：在发生工伤60天且私了无果的情况下，既可以由公司申请工伤认定，也可以由您自己申请。具体选择哪种方式，需结合实际情况和双方协商结果来决定。

详细分析：

1. 公司申请工伤认定：

   • 法律依据：根据《工伤保险条例》第十七条的规定，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。
   • 实际情况：虽然公司应在事故发生后30日内申请工伤认定，但如果公司未按时申请，您或您的近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。因此，在工伤发生60天后，如果公司仍未申请，您完全有权自己申请。
   • 建议：如果公司愿意配合申请工伤认定，且您认为公司能够妥善处理后续事宜，那么可以等待公司申请。但考虑到时间已经过去60天，且私了无果，建议您主动与公司沟通，了解公司申请工伤认定的进展，并表达自己希望尽快处理的意愿。

2. 您自己申请工伤认定：

   • 法律依据：同样根据《工伤保险条例》第十七条的规定，如上文所述，您或您的近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 实际情况：在私了无果的情况下，您可能更倾向于自己申请工伤认定，以确保自己的权益得到保障。自己申请工伤认定需要准备相关材料，如工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等。
   • 建议：如果您决定自己申请工伤认定，建议尽快准备相关材料，并前往用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提交申请。同时，保留好所有与工伤相关的证据和材料，以备后续使用。

额外建议：

• 协商与调解：在申请工伤认定之前或之后，您都可以尝试与公司进行协商或调解，以寻求双方都能接受的解决方案。这有助于减少诉讼成本和时间成本。
• 法律援助：如果您在申请工伤认定或协商过程中遇到困难或问题，可以寻求法律援助或咨询专业律师（比如我）的意见。我可以根据您的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。

总结：在发生工伤60天且私了无果的情况下，您既可以选择等待公司申请工伤认定，也可以选择自己申请。无论选择哪种方式，都建议您尽快行动，并保留好所有与工伤相关的证据和材料。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。